Version 0.9943 (Beta)
www.ve-und-mint.de
Onlinevorkurs Mathematik (Betaversion)
MINT-Logo





Version 0.9943 (Beta)
www.ve-und-mint.de
Onlinevorkurs Mathematik (Betaversion)
MINT-Logo






Onlinekurs Mathematik - Integralrechnung - Anwendungen


8.3.1 Flächenberechnung

Eine erste Anwendung der Integrationsrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten, deren Ränder von mathematischen Funktionen beschrieben werden können. Zur Veranschaulichung ist in der folgenden Abbildung (linkes Bild) die Funktion f(x)= 1 2 x3 auf dem Intervall [-2,2] dargestellt. Unser Ziel ist die Berechnung des Flächeninhalts, der vom Graphen der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird. Unsere bisherigen Untersuchungen ergeben, dass das Integral über diese ungerade Funktion in den Grenzen von -2 bis 2 genau Null ergeben wird, da die linke und rechte Teilfläche gleich groß sind, aber bei der Integration unterschiedliche Vorzeichen erhalten. Das Integral entspricht hier also nicht dem Wert des Flächeninhalts. Spiegeln wir jedoch die ,,negative'' Fläche an der x-Achse, geben der Funktion also ein positives Vorzeichen (rechtes Bild), dann können wir den Flächeninhalt richtig bestimmen. Mathematisch bedeutet das, dass wir nicht das Integral der Funktion f berechnen, sondern das Integral des Betrags |f|.

./VBKM08mtikzauto_2.png

Durch die Bildung des Betrags der Funktion benötigen wir eine Aufteilung des Integrals in die Bereiche mit positivem und negativem Vorzeichen. Für die Berechnung heißt dies, dass wir das Integrationsintervall in Abschnitte zu unterteilen, in denen die Funktionswerte dasselbe Vorzeichen haben.

Flächenberechnung 8.3.1  
Gegeben ist eine Funktionen f:[a;b] auf einem Intervall [a;b]. Weiter seien x1 bis xm die Nullstellen von f mit x1 < x2 << xm . Es werden x0 :=a und xm+1 :=b gesetzt.

Dann ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse gleich

a b |f(x)|dx= k=0 m| xk xk+1 f(x)dx|.



Sehen wir uns dies am oben dargestellten Beispiel etwas genauer an.

Beispiel 8.3.2  
Wir berechnen den Flächeninhalt A, den die Funktion f(x)= 1 2 x3 im Bereich [-2,2] mit der x-Ache einschließt. Die einzige Nullstelle der gegebenen Funktion finden wir bei x0 =0. Wir teilen den Integrationsbereich also in die beiden Teilintervalle [-2,0] und [0,2] auf und berechnen mit

A = -2 2 | 1 2 x3 |dx=| -2 0 1 2 x3 dx|+| 0 2 1 2 x3 dx| = | [ 1 8 x4 ]-2 0 |+| [ 1 8 x4 ]0 2 | = |0-2|+|2-0| = 4

den Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse zu A=4.


Wir können nicht nur Flächeninhalte zwischen einer Kurve und der x-Achse bestimmen, sondern auch den Inhalt einer Fläche, die von zwei Kurven eingeschlossen wird, wie in der folgenden Abildung veranschaulicht.

./VBKM08mtikzauto_3.png

Dieses Prizip wollen wir uns ebenfalls zuerst formal und danach an einem Beispiel ansehen.

Flächenberechnung zwischen den Graphen zweier Funktionen 8.3.3  
Gegeben sind zwei Funktionen f,g:[a;b] auf einem Intervall [a;b]. Weiter seien x1 bis xm die Nullstellen von f-g mit x1 < x2 << xm . Es werden x0 :=a und xm+1 :=b gesetzt.

Dann kann der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und dem von g durch

a b |f(x)-g(x)|dx= k=0 m| xk xk+1 (f(x)-g(x))dx|.

berechnet werden.


Sehen wir uns dies an einem Beispiel an.

Beispiel 8.3.4  
Wir berechnen den Inhalt IA der Fläche zwischen den Graphen von f(x)= x2 und g(x):=8- 1 4 x4 für x[-2,2]. Zunächst untersuchen wir die Differenz f-g der Funktionen auf ihre Nullstellen hat. Mit

f(x)-g(x) = 1 4 x4 + x2 -8 = 1 4 ( x4 +4 x2 -32) = 1 4 ( x4 +4 x2 + 22 - 22 -32) = 1 4 ( ( x2 +2)2 -36)

können wir die reellen Nullstellen von f-g berechnen:

( x2 +2)2 -36=0 ( x2 +2)2 =36 x2 +2=6 x2 =4 x=±2



In unserer Rechnung haben nach dem Ziehen der ersten Wurzel auf eine nähere Betrachtung des Falls x2 +2=-6 verzichtet, da wir aus der daraus folgenden Gleichung x2 =-8 keine reellen Nullstellen erhalten. Die reellen Nullstellen von f-g sind -2 und 2. Dies sind gleichzeitig auch die Randstellen des Intervalls [-2,2]. Eine Aufteilung des Integrals in verschiedene Bereiche ist also nicht nötig. Damit erhalten wir den Flächeninhalt IA zu

IA = -2 2 |f(x)-g(x)|dx = | -2 2 ( x2 -(8- 1 4 x4 ))dx| = 2| [ 1 20 x5 + 1 3 x3 -8x]0 2 | = 23+ 7 15 = 352 15 .