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Onlinekurs Mathematik - Integralrechnung - Bestimmtes Integral


8.2.2 Rechenregeln



Zerlegung eines Integrals 8.2.5  
Sei f:[a;b] eine integrierbare Funktion. Dann gilt für jede Zahl z zwischen a und b

a b f(x)dx= a z f(x)dx+ z b f(x)dx



Mit der Regeln, dass

d c f(x)dx:=- c d f(x)dx

gilt die obige Regel für alle reellen Zahlen z, für die die beiden rechts stehenden Integrale existieren, auch wenn z nicht zwischen a und b liegt.

Die Rechenregel ist praktisch, um Funktionen mit Beträgen oder andere abschnittsweise definierte Funktionen zu integrieren.

Beispiel 8.2.6  
Das Integral der Funktion f:[-4,6],x|x| ist

-4 6 |x|dx = -4 0 (-x)dx+ 0 6 xdx = [- 1 2 x2 ]-4 0 + [ 1 2 x2 ]0 6 = (0-(-8))+(18-0) = 26



Die Integration über die Summe zweier Funktionen kann ebenfalls in zwei Integrale zerlegt werden:

Summen- und Faktorregel 8.2.7  
Seien f und g auf [a;b] integrierbare Funktionen und r eine reelle Zahl. Dann gilt

a b (f(x)+g(x))dx= a b f(x)dx+ a b g(x)dx (8.2.2)


Für Vielfache einer Funktion gilt

a b r·f(x)dx=r· a b f(x)dx (8.2.3)




Auch für die Berechnung eines Produktes zweier Funktionen gibt es eine Rechenregel.

Partielle Integration 8.2.8  
Sei f' eine auf [a;b] integrierbare Funktion und g eine auf [a;b] differenzierbare Funktion, dann gilt

a b f'(x)·g(x)dx= [f(x)·g(x)]a b - a b f(x)·g'(x)dx,

wobei f die Stammfuktion von f' ist und g' die Ableitung der Funktion g. Diese Rechenregel ist als partielle Integration bekannt.


Sehen wir uns auch zu dieser Regel ein Beispiel an:

Beispiel 8.2.9  
Wir berechnen das Integral

0 π xsinxdx

unter Verwendung der partiellen Integration. Dazu wählen wir die Funktionen

f'(x)=sinx    und    g(x)=x

und erhalten die für die partielle Integration nötigen Funktionen

f(x)=-cosx    und    g'(x)=1.

So können wir das gesuchte Integral berechnen:

0 π xsinxdx = [(-cosx)·x]0 π - 0 π (-cosx)·1dx = (-cosπ)·π-0+ 0 π cosxdx = -(-1)·π+ [sinx]0 π =π

Die Zuordnung der Funktionen f' und g muss zielführend erfolgen. Probieren Sie, dieses Beispiel zu lösen, indem Sie f' und g anders herum wählen!