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Onlinekurs Mathematik - Integralrechnung - Bestimmtes Integral


8.2.1 Integral



Das Integral einer Funktion kann als ,,Fläche unter der Kurve'' interpretiert werden. In dem nach Riemann benannten Integral wird der Funktionsverlauf durch eine Treppenfunktion angenähert, und die Funktionswerte werden, gewichtet mit der jeweiligen Intervalllänge bzw. ,,Breite einer Treppenstufe'', aufsummiert. Dies ist in der unten gezeigten Abbildung dargestellt.

./BildIntegralObersumme.png
Abbildung 1: Zur Definition des Integrals: Funktion angenähert durch eine Treppenfunktion, unterteilt in acht Teilintervalle.



Wir erkennen, dass die Fläche unter der Kurve zunächst durch Rechtecke angenähert wird, deren eine (horizontale) Seitenlänge durch ein Intervall auf der x-Achse bestimmt wird, während die Länge der zweiten (vertikalen) Seite durch den Funktionswert am linken Rand des dazu gehörenden x-Intervalls beschrieben wird. Wir bestimmen nun die Flächen dieser Rechtecke und summieren diese Teilflächen auf. Je kleiner die Intervalle auf der x-Achse werden, umso mehr nähert sich die so berechnete Summe dem ,,wahren'' Wert der Fläche unter der Kurve, also dem Integral der Funktion, an.

Formal heißt das, dass wir eine Summe Sn der Form

Sn = k=0 n-1f( xk )·Δ( xk )       mit   Δ( xk ):= xk+1 - xk

bestimmen. In unserem Beispiel teilen wir das Intervall [0,8] in acht gleich große Teile ein. Dabei sind x0 =0, x1 =1, x2 =2, x3 =3, x4 =4, x5 =5, x6 =6, x7 =7 und x8 =8. Wenden wir darauf diese Summenformel an, erhalten wir

S8 = f( x0 )·( x1 - x0 )+f( x1 )·( x2 - x1 )+f( x2 )·( x3 - x2 )+f( x3 )·( x4 - x3 ) +f( x4 )·( x5 - x4 )+f( x5 )·( x6 - x5 )+f( x6 )·( x7 - x6 )+f( x7 )·( x8 - x7 ) = f( x0 )·(1-0)+f( x1 )·(2-1)+f( x2 )·(3-2)+f( x3 )·(4-3) +f( x4 )·(5-4)+f( x5 )·(6-5)+f( x6 )·(7-6)+f( x7 )·(8-7) = f( x0 )·1+f( x1 )·1+f( x2 )·1+f( x3 )·1+f( x4 )·1+f( x5 )·1+f( x6 )·1+f( x7 )·1

Leider ist dieser Vorgang nicht immer so einfach wie in unserem Beispiel und die Intervalllänge nicht immer 1. Die Intervalllänge soll schließlich gegen Null gehen, um einen möglichst genauen Wert der Fläche zu berechnen.
Integral 8.2.1  
Gegeben ist eine Funktion f:[a;b] auf einem reellen Intervall [a;b]. Dann nennen wir

a b f(x)dx= limn Sn (8.2.1)


das bestimmte Integral von f mit der Untergrenze a und der Obergrenze b.


Als Beispiel wird das Integral von f:[0,1],xx berechnet, wobei die Berechnung des Grenzwertes im Vordergrund steht.

Beispiel 8.2.2  
Wir wollen das Integral von f:[0,1],xx berechnen. Dazu teilen wir das Intervall [0,1] in Teilintervalle [ xk , xk+1 ] mit x0 :=0 und xk := xk-1 + 1 n ein. Die Intervalllänge ist also Δ( xk )= xk+1 - xk = 1 n .

Untersuchen wir die Intervalllänge auf ihr Verhalten für n gegen unendlich, dann sehen wir, dass Δ( xk ) immer kleiner wird und gegen Null strebt. Die Voraussetzung für die Berechnung eines bestimmten Integrals ist also gegeben.

Für die Werte xk finden wir unter Zuhilfenahme der Intervallänge außerdem xk = k n und damit auch f( xk )= xk = k n

Setzen wir diese Ergebnisse in die Summenformel ein, dann erhalten wir unter der Verwendung von k=1 n-1k= 1 2 n(n-1) (,,kleiner Gauß'')

Sn = k=0 n-1f( xk )·Δ( xk )= k=0 n-1 xk · 1 n = k=0 n-1 k n · 1 n = 1 n2 · k=0 n-1k= 1 n2 · k=1 n-1k = 1 n2 n(n-1) 2 = 1 2 · n-1 n = 1 2 ·(1- 1 n )

Und mit limn 1 n =0 ergibt sich für das Integral

0 1 xdx= limn Sn = 1 2 .



Eine große Klasse von Funktionen ist integrierbar: alle Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische und Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie deren Verknüpfungen.

Um Rechnungen möglichst unkompliziert durchführen zu können, sind möglichst einfache Regeln zur Integration von Funktionen nötig. Ein wichtiges Ergebnis liefert uns der sogenannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er beschreibt einen Zusammenhang zwischen den Stammfunktionen einer Funktion und deren Integral.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 8.2.3  
Gegeben ist eine Funktion f:[a;b] auf einem reellen Intervall [a;b]. Besitzt f eine Stammfunktion, dann gilt für jede Stammfunktion F von f

a b f(x)dx  =   [F(x)]a b   =  F(b)-F(a).



Als einfaches Beispiel berechnen wir das bestimmte Integral der Funktion f mit f(x)= x2 zwischen a=1 und b=2. Mit den Regeln für die Bestimmung von Stammfunktionen und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung können wir diese Aufgabe sehr leicht lösen.

Beispiel 8.2.4  
Die Funktion f:[a;b] mit f(x):= x2 hat nach der Tabelle aus dem ersten Abschnitt eine Stammfunktion F mit F(x)= 1 3 x3 . Damit ist

1 2 x2 dx= [ 1 3 x3 +C]1 2 =( 1 3 23 +C)-( 1 3 13 +C)= 7 3 .

Wie wir sehen, fällt die Konstante nach dem Einsetzen der Grenzen weg, sodass wir sie in der Praxis bei der Berechnung von bestimmten Integralen bereits bei der Bilduns der Stammfunktion ,,unterschlagen'' können.