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Onlinekurs Mathematik - Integralrechnung - Stammfunktionen


Inhalt



Stammfunktion 8.1.1  
Gegeben ist eine Teilmenge D und eine Funktion f:D. Wenn es eine differenzierbare Funktion F:D gibt, deren Ableitung gleich f ist, für die also F'(x)=f(x) für alle xD gilt, dann heißt F eine Stammfunktion von f.


Eine Stammfunktion wird auch unbestimmtes Integral genannt und in der Form

f(x)dx=F(x)

notiert. Die Sprechweise ist hier: ,, F ist das Integral über f.'' Der Zusammenhang zum Integral wird in der Infobox 8.2.3 zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beschrieben.

Sehen wir uns zunächst einige Beispiele an.
Beispiel 8.1.2  
Die Funktion F(x)=-cos(x) hat die Ableitung F'(x)=-(-sin(x))=sin(x). Somit ist

sin(x)dx=-cos(x)

eine Stammfunktion von f(x)=sin(x).


Beispiel 8.1.3  
Die Funktion G(x)=e3x+7 hat die Ableitung G'(x)=3·e3x+7 . Deshalb ist

3·e3x+7 dx=e3x+7

eine Stammfunktion von f(x)=3e3x+7 .


Notieren wir die Beziehung zwischen Ableitung f=F' und Stammfunktion F in der eben besprochenen umgekehrten Sichtweise für die bisher betrachteten Funktionsklassen, ergibt sich die folgende Tabelle:

Eine kleine Tabelle von Stammfunktionen 8.1.4  


Funktion   f Eine Stammfunktion   F  dazu ist: f(x)=0F(x)=C     für eine Zahl   C f(x)= xn F(x)= 1 n+1 · xn+1     ,    n-1 f(x)=sin(x)F(x)=-cos(x) f(x)=sin(kx)F(x)=- 1 k cos(kx)     für eine Zahl   k f(x)=cos(x)F(x)=sin(x) f(x)=cos(kx)F(x)= 1 k sin(kx)     für eine Zahl   k f(x)=1+ tan2 (x)= 1 cos2 (x) F(x)=tan(x) f(x)=ex F(x)=ex f(x)=ekx F(x)= 1 k ekx      für eine Zahl   k f(x)= 1 x F(x)=ln|x|



In der ersten Zeile in obiger Tabelle steht, dass F(x)=C eine Stammfunktion zu f(x)=0 ist. Klar, denn die Ableitung einer konstanten Funktion ist die Nullfunktion. Aber woher kennen wir den Wert dieser Konstanten C? Schließlich ist die Ableitung jeder beliebigen konstanten Funktion die Null. So gilt z.B. für F(x)=3 und für G(x)=5, dass F'=G'=0 ist. Ist nur nach einer Stammfunktion von f(x)=0 gefragt, ohne dass weitere Forderungen getroffen werden, ist die Stammfunktion eine ganz beliebige Konstante C. Andere Möglichkeiten, als dass es sich um irgendeine konstante Funktion handelt, gibt es nicht.

Haben die Funktionen F und G dieselbe Ableitung f=F'=G', dann ist G'(x)-F'(x)=0. Bilden wir nun auf beiden Seiten der Gleichung die Stammfunktion, dann erhalten wir den Zusammenhang G(x)-F(x)=C. Somit ist G(x)=F(x)+C. Haben wir also mit F(x) eine Stammfunktion von f(x) gefunden, dann ist auch G(x)=F(x)+C eine Stammfunktion von f(x).

Aussage über Stammfunktionen 8.1.5  
Wenn F und G Stammfunktionen von f:D sind, dann gibt es eine Zahl C, sodass

F(x)=G(x)+C       für alle   xD

gilt. Hierfür schreibt man auch

f(x)dx=F(x)+C,

um auszudrücken, wie sämtliche Stammfunktionen von f aussehen.


Beispiel 8.1.6  
Die Funktion F(x)=5 x2 -6x hat die Ableitung F'(x)=10x-6. Somit wird durch

(10x-6)dx=5 x2 -6x+C

die Gesamtheit der Stammfunktionen von f(x)=10x-6 beschrieben, wobei C für eine beliebige reelle Zahl steht.

Beispielsweise ist auch G(x):=5 x2 -6x-7 eine Stammfunktion von f(x)=10x-6, denn es ist G'(x)=5·2x-6=f(x).


Aus der obigen Tabelle zu Stammfunktionen ergibt sich die Gesamtheit aller Lösungen dann jeweils durch die Addition einer Konstanten:

Eine kleine Tabelle von Stammfunktionen - zweite Version 8.1.7  


Funktion Stammfunktionen f(x)=0F(x)=0dx=C f(x)= xn F(x)= xn dx= 1 n+1 · xn+1 +C f(x)=sin(x)F(x)=sin(x)dx=-cos(x)+C f(x)=sin(kx)F(x)=- 1 k cos(kx)+C f(x)=cos(x)F(x)=cos(x)dx=sin(x)+C f(x)=cos(kx)F(x)= 1 k sin(kx)+C f(x)=1+ tan2 (x)= 1 cos2 (x) F(x)=(1+ tan2 (x)dx=tan(x)+C f(x)=ex F(x)=ex dx=ex +C f(x)=ekx F(x)= 1 k ekx +C f(x)= 1 x F(x)= 1 x dx=ln|x|+C

Hier bezeichnen k und C beliebige reelle Zahlen.


In Tabellenwerken wird auf die Angaben der Konstanten oft verzichtet. In einer Rechnung ist es allerdings wichtig, anzugeben, dass es mehrere Lösungen geben kann. Bei der Lösung anwendungsbezogener Probleme wird die Integrationskonstante C häufig durch die Angabe weiterer Bedingungen festgelegt.



Ein praktischer Hinweis 8.1.8  
Die Überprüfung, ob wir die Stammfunktion einer vorgegebenen Funktion f richtig gebildet haben, ist sehr einfach. Wir bestimmen die Ableitung unserer gefundenen Stammfunktion und vergleichen diese mit der ursprünglich vorgegebenen Funktion f. Stimmen beide überein, war unsere Rechnung richtig. Stimmt das Ergebnis der Probe nicht mit der Funktion f überein, müssen wir unsere Stammfunktion noch einmal überprüfen.