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Onlinekurs Mathematik - Integralrechnung - Stammfunktionen


Einführung

Im letzten Kapitel haben wir uns mit Ableitungen von Funktionen beschäftigt. Natürlich stellt sich, wie bei jeder Rechenoperation, auch hier die Frage nach der Umkehrung, so wie die Subtraktion als Umkehrung der Addition aufgefasst werden kann oder die Division als Umkehrung der Multiplikation. Die Suche nach der Umkehrung der Ableitung führt zur Einführung der Integralrechnung und damit zur Stammfunktionsbildung. Der Zusammenhang ist sehr einfach erklärt. Können wir einer Funktion f eine Ableitung f' zuordnen und fassen auch f' als Funktion auf, können wir auch der Funktion f' eine Funktion f zuordnen, indem wir die Operation ,,Ableitung'' rückgängig machen. Wir drehen in diesem Kapitel also die Fragestellung um: Können wir zu einer Funktion f eine andere Funktion finden, deren Ableitung wieder die Funktion f ist?

Die Anwendungen der Integralrechnung sind genauso vielfältig wie die Anwendungen der Differenzialrechnung. Untersuchen wir z.B. in der Physik die Kraft F, die auf einen Körper wirkt, dann können wir unter Verwendung des bekannten Zusammenhangs F=ma (m: Masse des Körpers, a: Beschleunigung des Körpers) zunächst aus der Kraft die Beschleunigung a=F/m berechnen. Interpretieren wir die Beschleunigung als Änderungsrate der Geschwindigkeit a= d v d t , dann können wir anschließend die Geschwindigkeit über die Umkehrung der Ableitung - also durch die Integralrechnung - bestimmen. Ähnliche Zusammenhänge lassen sich in vielen Bereichen aus Naturwissenschaften, Technik und auch Wirtschaftswissenschaften finden. So benötigt man die Integralrechnung zur Bestimmung von Flächen, von Schwerpunkten, Biegeeigenschaften von Balken oder zur Lösung sogenannter Differenzialgleichungen, mit denen die meisten Probleme im naturwissenschaftlich-technischen beschrieben werden.