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Onlinekurs Mathematik - Differentialrechnung - Anwendungen


7.5.3 Optimierungsaufgaben



In vielen Anwendungen der Technik oder Wirtschaft findet man Problemlösungen, die nicht eindeutig sind. Häufig hängen sie von variablen Bedingungen ab. Um eine ideale Lösung zu finden, werden zusätzliche Eigenschaften (Nebenbedingungen) definiert, die von der Lösung erfüllt werden müssen. Dies führt sehr oft zu sogenannten Optimierungsaufgaben, bei denen aus einer Schar von Lösungen diejenige gesucht werden muss, die eine vorab festgelegte Eigenschaft am besten erfüllt.

Als Beispiel betrachten wir die Aufgabe, eine zylinderförmige Dose zu konstruieren. Die Dose soll zusätzlich die Bedingung erfüllen, ein Fassungsvermögen (Volumen) von einem Liter zu haben. Sind r der Radius und h die Höhe der Dose, so soll also V=π r2 ·h=1 sein (auf die physikalischen Einheiten wurde der mathematischen Einfachheit halber verzichtet - in der Praxis ist es allerdings unumgänglich, mit den Einheiten zu rechnen). Um Arbeitsmaterial zu sparen, suchen wir nach derjenigen Dose, die eine möglichst kleine Oberfläche O=2·π r2 +2πrh hat. Hier ist die Oberfläche O eine Funktion in Abhängigkeit von Radius r und Höhe h der Dose.

Mathematisch formuliert führt die Aufgabe auf die Suche nach einem Minimum für die Funktion O der Oberfläche, wobei für die Berechnung des Minimums nur Werte für r und h zugelassen werden, für die auch die Bedingung über das Volumen V=π r2 ·h=1 erfüllt ist. Eine solche zusätzliche Bedingung bei der Suche nach Extremstellen wird auch Nebenbedingung genannt.

Optimierungsaufgabe 7.5.2  
In einer Optimierungsaufgabe wird eine Extremstelle x ext einer Funktion f gesucht, die eine gegebene Gleichung g( x ext )=b erfüllt.

Wenn ein globales Minimum gesucht wird, spricht man auch von einer Minimierungsaufgabe. Wenn ein Maximum gesucht wird, heißt die Optimierungsaufgabe eine Maximierungsaufgabe.

Die Funktion f heißt Zielfunktion, und die Gleichung g(x)=b wird Nebenbedingung der Optimierungsaufgabe genannt.