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Onlinekurs Mathematik - Differentialrechnung - Anwendungen


7.5.1 Kurvendiskussion



Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f:(a,b) mit Zuordnungsvorschrift y=f(x) für x(a,b). Eine vollständige Kurvendiskussion für f besteht in diesem Kurs aus folgenden Angaben:

  1. Maximaler Definitionsbereich

  2. Achsenschnittpunkte des Graphen

  3. Symmetrie des Graphen

  4. Grenzverhalten/Asymptoten

  5. Die ersten Ableitungen

  6. Extremwerte

  7. Monotonieverhalten

  8. Wendestellen

  9. Krümmungsverhalten

  10. Skizze des Graphen



Viele dieser Punkte wurden bereits in Modul 6 besprochen. Daher werden wir im Folgenden nur kurz wiederholen, was wir unter den einzelnen Schritten der Kurvendiskussion verstehen wollen. Im Anschluss werden wir uns eine Kurvendiskussion detailliert an einem Beispiel ansehen.

Der erste Teil der Kurvendiskussion besteht aus algebraischen und geometrischen Aspekten von f:

Maximaler Definitionsbereich
Wir bestimmen alle reellen Zahlen x, für die f(x) existiert. Die Menge D all dieser Zahlen wird maximaler Definitionsbereich genannt.
Symmetrie des Graphen
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x)=f(x) für alle xD ist. Ist f(-x)=-f(x) für alle xD, dann ist der Graph zum Ursprung (0;0) des Koordinatensystems punktsymmetrisch.
Schnittpunkte mit den Achsen
 
  • x-Achse: Wir bestimmen alle Nullstellen von f.

  • y-Achse: Wir berechnen den Funktionswert f(0) (falls 0D).

Asymptotisches Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs
Wir untersuchen, die Grenzwerte der Funktion f an den Grenzen ihres Definitionsbereichs.


Im zweiten Teil wird die Funktion mittels Folgerungen aus der Ableitung analytisch untersucht. Dazu müssen wir natürlich zunächst die erste und zweite Ableitung berechnen, sofern diese existieren.

Ableitungen
Berechnung der ersten und zweiten Ableitung (soweit vorhanden).
Extremwerte und Monotonie
Notwendige Bedingung für Extremstellen: f'(x)=0

Wir berechnen also diejenigen Stellen x0 , an denen die Ableitung f' den Wert Null annimmt. Wenn an diesen Stellen auch die zweite Ableitung f'' existiert, gilt:
  • f''( x0 )>0: x0 ist eine Minimalstelle von f.

  • f''( x0 )<0: x0 ist eine Maximalstelle von f.

Die Funktion f ist auf den Intervallen des Defitionsbereichs monoton wachsend, wo f'(x)0 gilt. Sie ist monoton fallend, wenn f'(x)0 gilt.
Wendestellen und Krümmungseigenschaften
Notwendige Bedingung für Wendestellen (wenn die zweite Ableitung f'' existiert): f''(w)=0

Wenn f''( w0 )=0 und f(3) ( w0 )0 ist, dann ist w0 eine Wendestelle, d.h. f ändert an dieser Stelle das Krümmungsverhalten.

Die Funktion f ist auf den Intervallen des Defitionsbereichs konvex (linksgekrümmt), wo f(2) (x)0 gilt. Sie ist konkav (rechtsgekrümmt), wenn f(2) (x)0 gilt.
Skizze des Graphen
Wir fertigen eine Skizze des Graphen in einem geeigneten Koordinatensystem unter Berücksichtigung der während der Kurvendiskussion gewonnenen Daten.


7.5.2 Ausführliches Beispiel

Wir untersuchen die Funktion

f(x)  =   4x x2 +2 .



Definitionsbereich
Der maximale Definitionsbereich dieser Funktion ist Df =, da der Nenner der Funktion x2 +22 niemals Null wird und daher keine Stellen ausgeschlossen werden müssen.  
 
Achsenschnittpunkte
Die Nullstellen der Funktion entsprechen den Nullstellen des Zählers. Daher schneidet f die x-Achse nur im Nullpunkt (0,0), denn der Zähler wird nur für x=0 zu Null. Dies ist auch der einzige Schnittpunkt mit der y-Achse, da f(0)=0 ist.  
 
Symmetrie
Um das Symmetrieverhalten zu untersuchen, ersetzen wir x durch (-x). Es gilt

f(-x)  =   4·(-x) (-x )2 +2   =  - 4x x2 +2   =  -f(x)

für alle x. Der Graph von f ist folglich punktsymmetrisch zum Ursprung.  
 
Grenzverhalten
Die Funktion ist auf ganz definiert, daher ist nur das Grenzverhalten für x und x- zu untersuchen. Da f(x) ein Bruch aus zwei Polynomen ist und der Nenner die höhere Potenz besitzt, ist die x-Achse die waagerechte Asymptote in beide Richtungen: f(x)0 für x sowie für x-.  
 
Ableitungen
Die ersten beiden Ableitungen der Funktion erhalten wir mit der Quotientenregel:

f'(x)  =  4· 1·( x2 +2)-x·2x ( x2 +2 )2   =  4· - x2 +2 ( x2 +2 )2 .

Erneutes Ableiten und Vereinfachen ergibt

f''(x) = 4· -2x( x2 +2 )2 -(- x2 +2)·2( x2 +2)·2x ( x2 +2 )4 = 4· -2x( x2 +2)-(- x2 +2)·4x ( x2 +2 )3 = 4· -2 x3 -4x+4 x3 -8x ( x2 +2 )3 = 4· 2 x3 -12x ( x2 +2 )3 = 8· x( x2 -6) ( x2 +2 )3 .

 
Extremwerte
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle, f'(x)=0, ist hier gleichbedeutend mit - x2 +2=0. Wir erhalten also x1 =2 und x2 =-2. Untersuchen wir an diesen Stellen auch das Verhalten der zweiten Ableitung:

f''( x1 )  =  8 2·(2-6) (2+2 )3 <0    ,    f''( x2 )  =  8 -2·(2-6) (2+2 )3 >0    .

Folglich ist x1 eine Maximalstelle und x2 eine Minimalstelle von f. Durch Einsetzen in f erhalten wir den Hochpunkt (2,2) und den Tiefpunkt (-2,-2) von f.  
 
Monotonieverhalten
Da f auf ganz definiert ist, kann das Monotonieverhalten an den Extremstellen abgelesen werden: f ist monoton fallend auf (-,-2), monoton wachsend auf (-2,2) und monoton fallend auf (2,). Monotonieintervalle geben wir stets in offener Form an.  
 
Wendestellen
Aus der notwendigen Bedingung für Wendestellen f''(x)=0 erhalten wir die Gleichung 8x( x2 -6)=0. Somit sind w0 =0, w1 =6 und w2 =-6 die einzigen Lösungen. Das Polynom im Nenner von f'' ist stets größer als Null. Da das Zählerpolynom nur einfache Nullstellen besitzt, ändert f''(x) in allen diesen Stellen das Vorzeichen. Es handelt sich daher um Wendestellen von f. Die Wendepunkte (0,0), (6, 1 2 6), (-6,- 1 2 6) des Graphen von f ergeben sich durch Einsetzen in f.  
 
Krümmungsverhalten
Die zweimal differenzierbare Funktion f(x) ist konvex, wenn die zweite Ableitung größer oder gleich Null ist. Sie ist konkav, wenn die zweite Ableitung kleiner oder gleich Null ist. Da das Polynom im Nenner von f'' stets positiv ist, genügt es, das Vorzeichen des Polynoms p(x)=8x(x-6)(x+6) im Zähler zu untersuchen. Für 0<x<6 ist es negativ (dort ist f konkav). Für x>6 ist es positiv (dort ist f konvex). Da f punktsymmetrisch ist folgt, dass f auf den Intervallen (-6,0) und (6,) konvex sowie auf (-,-6) und (0,6) konkav ist.  
 
Skizze des Graphen
./BildKurvendiskussion1.png
Abbildung 1: Die Funktion f(x) skizziert auf dem Intervall [-8,8].