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Onlinekurs Mathematik - Differentialrechnung - Ableitung


Einführung

Stellen Sie sich vor, Sie sind mit Ihrem Auto unterwegs in den Urlaub. Sie fahren mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h durch eine Baustelle. Am Ende der Baustelle sehen Sie ein Schild, das es Ihnen erlaubt, ab sofort wieder mit eine Geschwindigkeit von 120 km/h zu fahren. Auch wenn Sie so kräftig wie Sie nur können auf das Gaspedal treten, Ihre Geschwindigkeit wird sich nicht sprunghaft ändern, sondern in Abhängigkeit der Zeit steigen. Schaffen Sie es, Ihre Geschwindigkeit innerhalb von 5 Sekunden von 60 km/h auf 120 km/h mit einer konstanten Änderungsrate zu erhöhen, dann finden Sie die Beschleunigung (= Geschwindigkeitsänderung pro Zeit) als konstante Änderungsrate der Geschwindigkeit. Sie ergibt sich aus dem Quotienten der Geschwindigkeitsänderung geteilt durch die dafür benötigte Zeit. Der Wert der Beschleunigung ist in diesem Fall also 12  km/h/s . In der Realität werden Sie Ihre Geschwindigkeit jedoch nicht mit einer konstanten Änderungsrate erhöhen, sondern mit einer ebenfalls zeitabhängigen Änderungsrate. Beschreiben Sie Ihre Geschwindigkeit als Funkion der Zeit v(t), erhalten Sie die Beschleunigung als Steigung dieser Funktion, unabhängig davon, ob diese Steigung konstant ist oder ebenfalls zeitabhängig ist. Oder mit anderen Worten: Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion v(t) nach der Zeit t.

Ähnliche Zusammenhänge finden Sie auch in anderen technischen Bereichen, z.B. bei der Berechnung von inneren Kräften, die in Stahlgerüsten von Bauwerken wirken, der Vorhersage von Atmosphären- oder Meeresströmungen oder auch bei der heute so wichtigen Modellierung der Finanzmärkte.

In diesem Kapitel wiederholen wir die grundlegenden Ideen, die hinter diesen Berechnungen stecken. Wir sehen uns die Differentialrechnung an. Mit anderen Worten: Wir bilden Ableitungen von Funktionen und bestimmen so deren Steigung bzw. Änderungsrate. Auch wenn wir diese Berechnungen hier streng mathematisch durchführen werden, ist unsere Motivation nicht rein mathematischer Natur. Ableitungen nehmen in vielen wissenschaftlichen Bereichen in der Interpretation als Änderungsraten verschiedener Funktionen eine wichtige Rolle ein und werden oft als herausragende Größen untersucht.