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Onlinekurs Mathematik - Elementare Funktionen - Trigonometrische Funktionen


6.5.2 Kosinus und Tangens

Im Grunde genommen müssen wir für Kosinus- und Tangensfunktion die zur Sinusfunktion analogen Überlegungen angehen, die wir aus dem vorigen Unterabschnitt 6.5.1 kennen. Da wir schon etwas Übung besitzen, können wir die Diskussion etwas straffen. Beginnen wir mit der Kosinusfunktion und betrachten erneut unsere dem Einheitskreis einbeschriebenen Dreiecke:
./cos_fkt_im_kreis.png
Wiederum besitzen alle Hypothenusen dieser so konstruierten rechtwinkligen Dreiecke die Länge 1, sodass die Kosinus der Winkel α im Bild als Längen der Strecken AC auftreten. Bewegen wir wie zuvor den Punkt B im Gegenuhrzeigersinn gleichmäßig um den Kreis und variieren so den Winkel α, erhalten wir letztlich die Kosinusfunktion:

cos:[-1,+1] αcos(α)

./cos_fkt.png
Das Schaubild gibt neben dem Graphen der Kosinus- (durchgezogene Linie) nochmals denjenigen der Sinusfunktion (gepunktete Linie) zu Vergleichszwecken wieder; wir erkennen eine sehr enge Verwandtschaft, die wir noch thematisieren werden.

Welche wichtigen Eigenschaften besitzt die Kosinusfunktion?
  • Die Kosinusfunktion ist ebenfalls eine periodische Funktion. Die Periode ist wieder 2π bzw. 360 .

  • Der Definitionsbereich der Kosinusfunktion ist ganz , Dcos =, der Wertebereich das Intervall von -1 bis +1, die Endpunkte inbegriffen, Wcos =[-1,+1].

  • Aus dem obigen Bild der Graphen von cos(α) und sin(α) ergibt sich unmittelbar, dass

    cos(α)=sin(α+ π 2 )

    für alle reellen Werte von α gilt. Ebenso richtig, aber etwas schwieriger einzusehen, ist

    cos(α)=-sin(α- π 2 )      .



Aufgabe 6.5.2  
An welchen Stellen nimmt die Kosinusfunktion ihren maximalen Wert 1 an, wo ihren maximal negativen Wert -1? An welchen Punkten besitzt sie Nullstellen (d.h. wo ist der Funktionswert gleich 0)?
Wie im Falle des Sinus gibt es auch für den Kosinus eine allgemeine Kosinusfunktion, in deren Definition zusätzliche Freiheiten in Form von Parametern auftauchen (Amplitudenfaktor B, Frequenzfaktor c sowie Verschiebekonstante d); auf diese Art und Weise eröffnet sich wiederum die Möglichkeit, den Funktionsverlauf an unterschiedliche Situationen (in Anwendungsbeispielen) anzupassen:

g:[-A,+A] xg(x)=Bcos(cx+d)

Aufgabe 6.5.3  
In Beispiel 6.5.1 haben wir das Fadenpendel andiskutiert. Insbesondere kann man den zeitlichen Verlauf der Pendelauslenkung ϕ unter den Voraussetzungen bestimmen, dass die Schwingungsdauer T gerade π Sekunden beträgt, und dass zum Zeitpunkt t=0 das Pendel bei einer Auslenkung von 30 losgelassen wird:

ϕ(t)= π 6 ·sin(2t+ π 2 ).

Kann man diese Situation auch mit Hilfe der (allgemeinen) Kosinusfunktion (anstelle der Sinusfunktion) beschreiben, und wenn ja, wie sieht dann ϕ(t) aus?


Der Tangens ist gegeben als das Verhältnis von Sinus zu Kosinus. Damit ist sofort klar, dass die Tangensfunktion nicht auf allen reellen Zahlen definiert sein kann, denn schließlich besitzt die Kosinusfunktion unendliche viele Nullstellen, wie man z.B. in Aufgabe 6.5.2 sehen kann. In Aufgabe 6.5.2 wird auch die Lage der Nullstellen von cos bestimmt ( cos(α)=0α{ k 2 ·π;k}); demzufolge ist der Definitionsbereich der Tangensfunktion Dtan ={ k 2 ·π;k}.

Und wie sieht es mit dem Wertebereich aus? Bei den cos-Nullstellen wird die Tangensfunktion gegen positiv bzw. negativ unendliche Werte streben und Polstellen haben und bei den sin-Nullstellen wird sin/cos Null. Dazwischen sind alle reellen Werte möglich, daher ist Wtan =. Insgesamt ergibt sich für den Graphen der Tangensfunktion

tan:{ k 2 ·π;k} αtan(α)

folgendes Bild:
./tan_fkt.png
Die Tangensfunktion verläuft zudem periodisch, allerdings mit der Periode π bzw. 180 .

Aufgabe 6.5.4  
Der sogenannte Kotangens (Abkürzung cot) ist definiert durch cot(α)= 1 tan(α) = cos(α) sin(α)       .

Geben Sie Definitions- und Wertebereich der Kotangensfunktion an!