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Onlinekurs Mathematik - Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus


Inhalt



Im vorangegangen Beispiel tritt eine Exponentialfunktion zur Basis a=2 auf, die Veränderliche - im Beispiel t - erscheint im Exponenten. Wir wollen nun die allgemeine Abbildungvorschrift für Exponentialfunktionen zu einer beliebigen Basis a angeben; dabei setzen wir allerdings a>0 voraus:

f:+ xf(x)= f0 · aλx

Dabei bezeichnen f0 und λ sogenannte Parameter der Exponentialfunktion, auf die wir weiter unten eingehen werden.

Der Definitionsbereich aller Exponentialfunktionen wird von allen reellen Zahlen gebildet, Df =, wohingegen der Wertebereich nur aus den positiven reellen Zahlen besteht ( Wf =+ ), da jedwede Potenz einer postiven Zahl nur positiv sein kann.

Aufgabe 6.4.2  
Warum setzt man bei den Exponentialfunktionen voraus, dass die Basis a größer Null sein soll?


Einige generelle Eigenschaften von Exponentialfunktionen können wir im folgenden Bild erkennen, in dem Exponentialfunktionen g:+ , xg(x)= ax für verschiedene Werte von a gegenübergestellt sind:
./expo_vgl.png
  • Alle diese Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt (x=0,y=1): Dies gilt, da g(x=0)= a0 und a0 =1 für jede Zahl a.

  • Ist a>1, so steigt der Graph von g von links nach rechts (also für wachsende x-Werte) an; man sagt auch, dass die Funktion g streng monoton wachsend ist. Je größer der Wert für a ist, desto schneller wächst g für positive x-Werte. Geht man von rechts nach links (also zu immer größeren negativen x-Werten), so bildet die negative x-Achse eine Asymptote des Graphen.

  • Ist a<1, so fällt der Graph von g von links nach rechts (also für wachsende x-Werte) ab; man sagt auch, dass die Funktion g streng monoton fallend ist. Je größer der Wert für a ist, desto langsamer fällt g für negative x-Werte. Geht man von links nach rechts (also zu immer größeren positiven x-Werten), so bildet die positive x-Achse eine Asymptote.

Und was hat es nun noch mit den Parametern f0 und λ auf sich? Der Parameter f0 ist schnell erklärt: Setzt man den Wert x=0 für die Veränderliche in die allgemeinen Exponentialfunktionen f ein,

f(x=0)= f0 · aλ·0 = f0 · a0 = f0 ·1= f0       ,

so erkennt man, dass f0 eine Art Start- oder Anfangswert darstellt (zumindest falls man die Veränderliche x zeitlich interpretiert); der exponentielle Verlauf aλx wird generell mit dem Faktor f0 multipliziert und dementsprechend gewichtet, d.h. gestreckt (für | f0 |>1) bzw. gestaucht (für | f0 |<1).

Der Parameter λ im Exponenten heißt Wachstumsrate; er bestimmt, wie stark die Exponentialfunktion - bei gleichbleibender Basis - wächst (für λ>0) oder fällt (für λ<0).

Aufgabe 6.4.3  
Begründen Sie die Form der Exponentialfunktion f(t)=500· 2(t/13) , die im Beispiel 6.4.1 auftritt!