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Onlinekurs Mathematik - Geometrie - Flächeninhalt und Strahlensätze


5.2.1 Flächeninhalt

Der Inhalt einer Fläche ist die Zahl der Einheitsquadrate, die man benötigt, um diese Fläche vollständig zu bedecken.
 
Zuerst wollen wir uns ein Rechteck ansehen.
Info 5.2.1  
 
Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle vier Innenwinkel rechte Winkel sind.


./Mathematik_ElementareGeometrie_Flaecheninhalt_Rechteck.png
Wenn ein Rechteck eine Seite der Länge a und eine Seite der Länge b hat, dann gibt es b Reihen mit a Einheitsquadraten, also a·b Einheitsquadrate.
 

Info 5.2.2  
 
Die Fläche A des Rechtecks ist

A=b·a=a·b



Damit können wir auch leicht den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Wir nehmen ein rechtwinkliges Dreieck  ABC, drehen es um  180 und legen die beiden Hypotenusen des Dreiecks  ABC und des gedrehten Dreiecks aufeinander. Damit erhalten wir ein Rechteck.
./Mathematik_ElementareGeometrie_FlaecheninhaltRechteck.png
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist nun die Hälfte des Flächeninhaltes des Rechtecks, also A= 1 2 ·a·b

Doch was ist zu tun, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist?



Aus jedem beliebigen Dreieck kann man zwei rechtwinklige Dreiecke gewinnen, indem man von einer Ecke aus eine Linie auf die gegenüberliegende Seite zieht, so dass sie diese senkrecht trifft. Diese Linie nennt man die Höhe hi eines Dreiecks auf die bestimmte Seite i, wobei der Index i derjenigen Seite a, b oder c entspricht, über der die Höhe bestimmt wird.

Je nachdem, ob die neue Linie innerhalb oder außerhalb des Dreiecks liegt, ergibt sich der Flächeninhalt des Dreiecks dann aus der Summe oder der Differenz der Flächeninhalte der beiden sich ergebenden rechtwinkligen Dreiecke:
./Mathematik_ElementareGeometrie_FlaecheninhaltDreieckSpitz.png               ./Mathematik_ElementareGeometrie_FlaecheninhaltDreieckStumpf.png


Links gilt also (wenn AΔ den Flächeninhalt des Dreiecks  Δ bezeichnet)

AABC = ADBC + AADC = 1 2 · hc · c2 + 1 2 · hc · c1 = 1 2 · hc ·( c2 + c1 )= 1 2 · hc ·c.

Rechts gilt genauso

AUVW = AXVW - AXUW = 1 2 · hw · w2 - 1 2 · hw · w1 = 1 2 · hw ·( w2 - w1 )= 1 2 · hw ·w.



Info 5.2.3  
 
  • Die Höhe eines Dreiecks auf einer Seite ist die Strecke, die von dem der Seite gegenüberliegenden Punkt ausgeht und die Gerade, auf der die Seite liegt, im rechten Winkel trifft. Der Punkt, auf dem die Höhe diese Gerade trifft, heißt Lotfußpunkt der Höhe.

  • Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus der Hälfte des Produkts der Länge einer Seite mit der Länge der zugehörigen Höhe des Dreiecks

    AABC = a· ha 2 = b· hb 2 = c· hc 2 .





Beispiel 5.2.4  
./Mathematik_ElementareGeometrie_DreieckFlaeche_Bsp.png
Bei dem hier gezeigten Dreieck ist die Höhe gegeben, die zur Seite mit dem Wert 8.5 gehört. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist also

A= 8.5·5.5 2 =23.375

 



Aufgabe 5.2.5  
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks:
 
./Mathematik_ElementareGeometrie_DreieckFlaeche_Aufgabe.png


Nun können wir auch die Flächen von anderen Vielecken, auch Polygone genannt, bestimmen. Wir werden uns jedoch auf einige einfache Formen beschränken. Polygone können in Dreiecke unterteilt werden. Die Summe der Flächeninhalte dieser Dreiecke ergibt den Flächeninhalt des Polygons.

Beispiel 5.2.6  
./Mathematik_ElementareGeometrie_Polygone.png
Sehen wir uns das links dargestellte Polygon an. Bei unserem Beispiel kann man das Polygon in ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten (a-c) und b und der Hypotenuse d sowie ein Rechteck mit den Seiten b und c unterteilen. Der Flächeninhalt des Polygons ist dann:  



A= A Dreieck + A Rechteck = 1 2 (a-c)·b+b·c= 1 2 ab- 1 2 bc+bc= 1 2 (a+b)·c



Aufgabe 5.2.7  

Berechnen Sie den Flächeninhalt des

Parallelogramms für a=4 und h=5.
Tipp: Teilen Sie es sinnvoll auf und schauen Sie sich die entstandenen Dreiecke gut an!



./Mathematik_ElementareGeometrie_Polygone_Parallelogramm.png




Zum Schluss wollen wir noch Kreisflächen berechnen. Wir haben zu Beginn bei 5.1.2 schon die Kreiszahl π kennengelernt, die über den Umfang des Kreises definiert ist. Ebenso hängt die Kreiszahl mit dem Flächeninhalt von Kreisen zusammen.
Info 5.2.8  
 
Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r berechnet sich zu

A=π· r2



Beispiel 5.2.9  
Ein Kreis hat einen Flächeninhalt von 12.566 bei einem Radius von ungefähr r=2. Wir können daraus die Kreiszahl π berechnen:

A=π· r2       π= A r2 = 12.566 4 =3.1415