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Onlinekurs Mathematik - Lineare Gleichungssysteme - LGS mit drei Unbekannten


4.3.3 Die Additionsmethode

Der Grundgedanke der Additionsmethode, den wir auch schon früher andiskutiert haben (siehe 4.2.2), besteht darin, Gleichungen des Systems so zu addieren, dass in der resultierenden Gleichung nur noch eine reduzierte Anzahl an Unbekannten auftritt. Dazu ist es meist erforderlich, vor der Addition eine der Gleichungen mit einem geschickt gewählten Faktor zu multiplizieren.

Wir wollen die Additionsmethode für Systeme aus drei Gleichungen in drei Unbekannten gleich in einer Form vorstellen, die sich leicht auf größere Systeme übertragen lässt. Bedienen wir uns zur Illustration der Vorgehensweise noch einmal des einführenden Beispiels 4.3.1, also des Beispiels der möglicherweise diebischen Kinder:
Beispiel 4.3.8  
Das uns zu einer erneuten Lösung auffordernde System linearer Gleichungen lautet also:

Gleichung (1):x-2y-2z=-30 Gleichung (2):-3x+y-3z=-30 Gleichung (3):-5x-5y+z=-30

Gleichung  (1) werden wir im folgenden unverändert beibehalten. Gleichung  (2) jedoch wollen wir durch eine neue Gleichung ersetzen, die wir durch Addition von Gleichung  (2) mit der mit dem Faktor 3 durchmultiplizierten Gleichung  (1) - kurz notiert als (2)+3·(1) - gewinnen:

(-3x+y-3z)+3·(x-2y-2z)=-30+3·(-30)-5y-9z=-120  : Gleichung (2')

Ähnlich gehen wir mit Gleichung  (3) vor: Wir ersetzen sie durch (3)+5·(1), also durch die Summe aus Gleichung  (3) und der mit dem Faktor 5 durchmultiplizierten Gleichung  (1):

(-5x-5y+z)+5·(x-2y-2z)=-30+5·(-30)-15y-9z=-180  : Gleichung (3')

Unser System sieht jetzt folgendermaßen aus:

Gleichung (1):x-2y-2z=-30 Gleichung (2'):-5y-9z=-120 Gleichung (3'):-15y-9z=-180

Aus den Gleichungen  (2') und (3') ist die Abhängigkeit von der Unbekannten x verschwunden - das war das Ziel und der Grund für die Faktoren 3 bzw. 5 bei den obigen Summationen.

Wir könnten nun das Untersystem, bestehend aus den zwei Gleichungen  (2') und (3') in den zwei Unbekannten y und z mit einer anderen Methode, z.B. der Einsetzmethode, weiterbehandeln. Doch wollen wir lieber vollständig innerhalb der Additionsmethode arbeiten: Dazu nehmen wir in der Folge Gleichung  (2') - ebenso wie Gleichung  (1) - von Änderungen aus; Gleichung  (3') soll aber nochmals ersetzt werden und zwar durch die Summe (3')+(-3)·(2'):

(-15y-9z)+(-3)·(-5y-9z)=-180+(-3)·(-120)18z=180  : Gleichung (3'')

Unser System hat ein weiteres Mal sein Aussehen gewandelt,

Gleichung (1):x-2y-2z=-30 Gleichung (2'):-5y-9z=-120 Gleichung (3''):18z=180      ,

und besitzt nun - zumindest was die linken Seiten anbelangt - so eine Art Dreiecksform.

Die Bestimmung der Unbekannten ist nun äußerst einfach: Die unterste Gleichung (Gleichung  (3'')) hängt nur noch von einer einzigen Unbekannten, nämlich z, ab und kann daher sofort aufgelöst werden, z=10.
Mit diesem Resultat für z gehen wir in die darüber stehende Gleichung (Gleichung  (2')), die dann unmittelbar das Ergebnis für die nächste Unbekannte, hier y, liefert: -5y-9·10=-120-5y=-30y=6.
Schließlich ergeben y und z in die oberste Gleichung (Gleichung  (1)) eingesetzt sofort die Lösung für die verbleibende Unbekannte, in vorliegenden Beispiel x: x-2·6-2·10=-30x=2.
Die aufmerksame Leserin, der aufmerksame Leser mag sich beim Studium des obigen Beispiels unter Umständen die Frage vorlegen, ob - und wenn ja, warum - es zulässig ist, in einem System eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen? Im Beispiel geschieht dies an drei Punkten, etwa wenn an die Stelle der Gleichung  (2) die Kombination Gleichung  (2) plus 3 mal Gleichung  (1), also Gleichung  (2'), tritt.

Wenn wir nach der Lösung eines Gleichungssystems forschen, verlangen wir die gleichzeitige Gültigkeit aller Gleichungen des Systems. Damit insistieren wir - um im Beispiel 4.3.8 zu sprechen - mit der Forderung, dass Gleichung  (1) und Gleichung  (2) gelten sollen, klarerweise auch auf der Gültigkeit von

Gleichung (1)+3· Gleichung (2) Gleichung (2')      .

Also dürfen wir im System Gleichung  (2) durch Gleichung  (2') ersetzen.

Zugleich erkennen wir hier einen weiteren wichtigen Punkt: Würden wir die eine Gleichung  (2') an die Stelle der beiden Gleichungen - Gleichung  (1) und Gleichung  (2) - treten lassen, so würden wir an Information einbüßen und sogar einen Fehler begehen. (Die Forderung von nur (2') statt (1) und (2) ist eine wesentlich schwächere.) Dies ist der Grund dafür, warum wir in die „neuen“ Systeme einige Gleichungen ungeändert übernehmen: Gleichung  (1) und Gleichung  (2) sind in den jeweiligen Systemen äquivalent zu Gleichung  (1) und Gleichung  (2'). Analoges trifft natürlich auch auf die anderen Ersetzungen in obigem Beispiel zu - und allgemeiner bei derartigen Umformungen Linearer Gleichungssysteme innerhalb der Additionsmethode.
Info 4.3.9  
 
Bei der Additionsmethode werden Paare linearer Gleichungen des Systems - gegebenenfalls nach der Multiplikation (mindestens) einer der beiden Gleichungen mit einem geschickt gewählten Faktor (bzw. mit geschickt gewählten Faktoren) - mit dem Ziel addiert, dass in den resultierenden Gleichungen (zumindest) eine Unbekannte herausfällt. Dabei ist darauf zu achten, dass bei der fortschreitenden Lösungsfindung keine Information verlorengeht, sprich, dass die Anzahl der (informationsrelevanten) Gleichungen stets erhalten bleibt. Am geschicktesten bringt man in diesem Zuge das Gleichungssystem auf eine Dreicksform. Dann ist das anschließende Auffinden der Lösung besonders einfach.