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Onlinekurs Mathematik - Lineare Gleichungssysteme - LGS mit drei Unbekannten


Einführung

Wir steigern in der Folge den Schwierigkeitsgrad ein wenig und gehen zur Behandlung etwas komplizierterer Systeme über:
Beispiel 4.3.1  
Drei Kinder finden beim Spielen ein Portemonnaie mit 30 Euro. Da meint das erste Kind: „Wenn ich das Geld für mich alleine behalte, so besitze ich doppelt so viel wie ihr beide zusammen!“ Woraufhin das zweite Kind mit vor Stolz geschwellter Brust prahlt: „Und wenn ich das gefundene Geld einfach einstecke, habe ich dreimal so viel wie ihr beide!“ Das dritte Kind kann da nur überlegen schmunzeln: „Und wenn ich's nehme, so bin ich fünfmal so reich wie ihr beiden Gauner!“ Wieviel Geld besitzen die Kinder vor dem Fund?

Bezeichnen wir die Geldsummen (in Euro) des ersten, zweiten bzw. dritten Kindes vor dem Portemonnaiefund mit x, y bzw. z, so können wir die Aussage des ersten Kindes wie folgt in eine mathematische Gleichung übersetzen:

x+30=2(y+z)x-2y-2z=-30  : Gleichung (1)

Analog wird die Aussage des zweiten Kindes übertragen,

y+30=3(x+z)-3x+y-3z=-30  : Gleichung (2)      ,

und schließlich diejenige des dritten Kindes:

z+30=5(x+y)-5x-5y+z=-30  : Gleichung (3)

Es entsteht also ein System aus drei linearen Gleichungen in drei Unbekannten, die hier x,y und z heißen.
Wen die Lösung dieses kleinen Rätsels interessiert, der wird sie weiter unten sowohl im Rahmen der Einsetzmethode (siehe 4.3.6) als auch im Rahmen der Additionsmethode (siehe 4.3.8) ausführlich vorgerechnet finden.
Info 4.3.2  
 
Eine lineares Gleichungssystem, bestehend aus drei Gleichungen in den drei Unbekannten x,y und z, besitzt folgende allgemeine Gestalt:

a11 ·x+ a12 ·y+ a13 ·z = b1 a21 ·x+ a22 ·y+ a23 ·z = b2 a31 ·x+ a32 ·y+ a33 ·z = b3

Dabei bezeichnen a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 und a33 die Koeffizienten sowie b1 , b2 und b3 die rechten Seiten des Linearen Gleichungssystems.

Wiederum nennt man das Lineare Gleichungssystem homogen, falls die rechten Seiten b1 , b2 und b3 verschwinden ( b1 =0, b2 =0, b3 =0). Anderfalls heißt das System inhomogen.