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Onlinekurs Mathematik - Lineare Gleichungssysteme - LGS mit zwei Unbekannten


Einführung

Wir beschränken uns zunächst auf lineare Gleichungssysteme in zwei Unbekannten.
Info 4.2.1  
 
Allgemein hat ein lineares Gleichungssystem (LGS), bestehend aus zwei Gleichungen in den Unbekannten x und y, folgende Gestalt:

a11 ·x+ a12 ·y= b1 a21 ·x+ a22 ·y= b2

Dabei sind a11 , a12 , a21 und a22 die sogenannten Koeffizienten des linearen Gleichungssystems, die ebenso wie die rechten Seiten b1 und b2 der Gleichungen meist aus den reellen Zahlen stammen und aufgrund der Problemstellung (weitgehend) vorgegeben sind.

Sind die rechten Seiten b1 und b2 beide gleich 0 ( b1 =0= b2 ), so spricht man von einem homogenen, andernfalls von einem inhomogenen Linearen Gleichungssystem.



Aufgrund der Linearität kann jede der beiden Gleichungen des Systems in Infobox 4.2.1 für sich als Gleichung einer Geraden in der x- y-Ebene interpretiert werden: Lösen wir z.B. die erste Gleichung nach y auf,

y=- a11 a12 x+ b1 a12       ,

so können wir aus dieser expliziten Form direkt ablesen, dass eine Gerade mit der Steigung m=- a11 / a12 und dem y-Achsenabschnitt y0 = b1 / a12 beschrieben wird.

Am Rande halten wir fest, dass das eben erwähnte Freistellen nach y natürlich nur funktioniert, falls a12 0 ist. Ist a12 =0, so lautet die erste Gleichung a11 ·x= b1 ; diese ist für a11 0 äquivalent zu x=( b1 / a11 ), was bedeutet, dass x einen konstanten Wert annimmt; dies stellt ebenfalls eine Gerade dar, nämlich eine Gerade parallel zur y-Achse im Abstand ( b1 / a11 ).
Und was, wenn sowohl a12 =0 als auch a11 =0 gilt? Nun, dann muss ebenfalls b1 =0 sein, da ansonsten die erste Gleichung von vornherein einen Widerspruch ergeben würde. Für a11 = a12 = b1 =0 ist aber die erste Gleichung (für alle Werte von x und y) immer identisch erfüllt ( 0=0) und somit wertlos.

Im Fall der zweiten Gleichung in Infobox 4.2.1 gehen wir ganz entsprechend vor:

y=- a21 a22 x+ b2 a22       .

Insgesamt erhalten wir zwei Geraden als Repräsentanten der beiden linearen Gleichungen, und die Frage nach Lösbarkeit und Lösung des linearen Gleichungssystems, also die Frage nach der gleichzeitigen Gültigkeit beider Gleichungen, liest sich als Frage nach Existenz und Lage des Schnittpunkts der beiden Geraden. Schauen wir uns dazu ein konkretes Beispiel an:

Beispiel 4.2.2  
Das lineare Gleichungssystem aus dem einführenden Beipiel 4.1.1 lautet:

x+y=10 x+2y=13 }{ y=-x+10 y=- 1 2 x+ 13 2

(Hier nehmen die allgemeinen Koeffizienten und rechten Seiten des Systems 4.2.1 somit die Werte a11 =1, a12 =1, a21 =1, a22 =2, b1 =10 und b2 =13 an.)
Es werden zwei Geraden mit den Steigungen m1 =-1 bzw. m2 =- 1 2 und den y-Achsenabschnitten y0,1 =10 bzw. y0,2 = 13 2 beschrieben:
./eindeutige_lsg.png
Wir erkennen aus dem Schaubild, dass sich die beiden Geraden in der Tat schneiden, und lesen die Koordinaten des Schnittpunktes zu (x=7,y=3) ab. Dementsprechend besitzt das hier betrachtete Lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung; die Lösungsmenge L enthält genau ein Zahlenpaar, L={(x=7,y=3)}.
Diese anschauliche Betrachtungsweise eignet sich hervorragend, alle Fälle zu diskutieren, die überhaupt nur auftreten können: Denn entweder schneiden sich zwei Geraden in der x- y-Ebene - und dann ist der Schnittpunkt zwangsläufig eindeutig -, oder aber zwei solche Geraden verlaufen parallel - und besitzen somit keinen Schnittpunkt -, oder aber die beiden Geraden sind deckungsgleich - und schneiden sich daher sozusagen in unendlich vielen Punkten. Andere Möglichkeiten sind nicht denkbar. Demzufolge können wir im Hinblick auf die Mächtigkeit der Lösungsmenge des zugehörigen linearen Gleichungssystems Folgendes festhalten:
Info 4.2.3  
 
Ein inhomogenes Lineares Gleichungssystem besitzt entweder eine eindeutige Lösung oder aber keine Lösung oder aber unendlich viele Lösungen.

Ein homogenes Lineares Gleichungssystem weist immer eine Lösung auf, nämlich die sogenannte triviale Lösung x=0 und y=0. Darüberhinaus kann ein solches homogenes System auch unendlich viele Lösungen besitzen.
Verdeutlichen wir das Gesagte an zwei weiteren Beispielen, bei denen wir direkt mit den Linearen Gleichungssystemen starten:
Beispiel 4.2.4  
In beiden Fällen wählen wir als Grundmenge die Menge der reellen Zahlen .



x+y=2 2x+2y=1 }{ y=-x+2 y=-x+ 1 2




x+y=2 2x+2y=4 }{ y=-x+2 y=-x+2

./keine_lsg.png ./unendl_lsg.png

Die beiden Geraden besitzen dieselbe Steigung m=-1, aber verschiedene y-Achsenabschnitte ( y0 =2 bzw. y0 =1/2); sie verlaufen parallel; das Lineare Gleichungssystem besitzt keine Lösung:

L=


Die beiden Geraden besitzen sowohl dieselbe Steigung m=-1 als auch denselben y-Achsenabschnitt y0 =2; sie sind deckungsgleich; das Lineare Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, die z.B. wie folgt angegeben werden können:

L={(t,-t+2);t}

Im Falle des Beispiels in der rechten Spalte sind andere Parametrisierungen der Lösungsmenge möglich und erlaubt. Es kommt im Grunde nur darauf an, die Punkte der (deckungsgleichen) Geraden geeignet zu beschreiben. Bei der obigen Angabe von L haben wir einfach die Geradengleichung selbst verwendet und die Laufvariable t statt x genannt.

Und was hat es mit den oben erwähnten möglichen Einschränkungen wegen der Grundmenge auf sich? Auch hierzu ein Beispiel:
Beispiel 4.2.5  
Auf einem Volksfest verspricht ein besonders pfiffiger Standbesitzer geradezu traumhafte Preise, und das gegen einen lächerlich geringen Spieleinsatz, wenn, ja wenn einer der Passanten ihm nur folgendes kleine Rätsel löst: Ich habe mit einem Würfel zweimal gewürfelt. Ziehe ich vom Sechsfachen der zweiten Augenzahl das Zweifache der ersten ab, so erhalte ich die Zahl 3. Addiere ich andererseits zum Vierfachen der ersten Augenzahl die Zahl 6, so bekomme ich das Zwölffache der zweiten Augenzahl. Welche beiden Zahlen habe ich gewürfelt?

Bezeichnen wir die Augenzahl des ersten Würfelwurfs mit x, diejenige des zweiten mit y, so können wir die Aussagen des Standbesitzers sehr schnell in Gleichungen übersetzen:

6y-2x=3 4x+6=12y }{ y= 1 3 x+ 1 2 y= 1 3 x+ 1 2

Wir stellen fest, dass das entstehende Lineare Gleichungssystem - anschaulich interpretiert - auf zwei deckungsgleiche Geraden führt. Vordergründig scheint es daher unendlich viele Lösungen zu geben.

Hier kommt jetzt allerdings die Grundmenge ins Spiel: Da sowohl x als auch y Augenzahlen eines Würfels repräsentieren, können beide Unbekannte jeweils nur einen Wert aus der Menge {1,2,3,4,5,6} annehmen. Betrachtet man die Gerade y= 1 3 x+ 1 2 in der x- y-Ebene,
./betrueger.png
so erkennt man, dass kein mögliches Augenzahlpaar auf dieser Geraden liegt; daher ist die Lösungsmenge hier tatsächlich leer, L=.