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Onlinekurs Mathematik - Ungleichungen in einer Unbekannten - Betragsungleichungen und quadratische Ungleichungen


3.3.2 Weitere Ungleichungstypen

Viele weitere Typen von Ungleichungen lassen sich auf quadratische Ungleichungen umformen, dabei sind jedoch manchmal Fallunterscheidungen sowie ausgeschlossene Werte im Definitionsbereich zu beachten:

Info 3.3.9  
 
Eine Ungleichung mit Brüchen, bei der x im Nenner zusammangesetzter Ausdrücke vorkommt, kann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner in eine bruchfreie Form gebracht werden, dabei müssen die Nullstellen der Nenner aber aus dem Definitionsbereich der neuen Ungleichung ausgeschlossen werden.  
 
Zudem entstehen bei der Multiplikation mit Termen Fallunterscheidungen in Abhängigkeit von ihrem Vorzeichen.


Beispiel 3.3.10  
Die Ungleichung 2- 1 x x kann durch Multiplikation mit x umformen, dabei sind drei Fälle zu unterscheiden:
  • Fall x>0, dann bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten. Die neue Ungleichung lautet 2x-1 x2 und ist äquivalent zu x2 -2x+10 bzw. (x-1 )2 0. Diese Ungleichung ist immer erfüllt, wegen der Fallbedingung erhalten wir die Lösungsmenge L1 =(0;).

  • Fall x<0, dann kehrt sich die Richtung der Ungleichung um. Die neue Ungleichung lautet 2x-1 x2 und ist äquivalent zu x2 -2x+10 bzw. (x-1 )2 0. Diese Ungleichung ist nur für x=1 erfüllt.

  • Der Einzelwert x=0 ist nicht Teil des Definitionsbereichs der ursprünglichen Ungleichung und damit keine Lösung.

Insgesamt erhalten wir die Vereinigungsmenge L=(0;) als Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung.


Über gemischte Bruch- und Wurzelterme definierte Ungleichungen haben oft Lösungsmengen, die nicht mehr die Formen aus Info 3.3.7 besitzen:

Beispiel 3.3.11  
Zu lösen sei die Ungleichung x+ 1 x >2. Der Definitionsbereich der Ungleichung ist (0;). Multiplikation mit x ergibt die Ungleichung x+1>2x. Hier ist keine Fallunterscheidung notwendig, da x>0 auf dem Definitionsbereich ist. Umformen ergibt x-2x+1>0 bzw. (x-1 )2 >0, was für alle x1 aus dem Definitionsbereich erfüllt ist. Also ist die Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung L=(0;)\{1}:  
 
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