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Onlinekurs Mathematik - Ungleichungen in einer Unbekannten - Betragsungleichungen und quadratische Ungleichungen


3.3.1 Quadratische Ungleichungen

Info 3.3.4  
 
Eine Ungleichung heißt quadratisch in x, falls sie sich zu x2 +px+q<0 (oder mit anderen Vergleichssymbolen) umformen lässt.
 
 
Quadratische Ungleichungen kann man daher auf zwei Weisen lösen: durch Untersuchung von Nullstellen und Öffnungsverhalten des Polynoms, sowie durch quadratische Ergänzung. Die quadratische Ergänzung ist meist einfacher:

Info 3.3.5  
 
Bei der quadratischen Ergänzung wird versucht, die Ungleichung auf die Form (x+a )2 <b zu bringen. Ziehen der Wurzel führt dann auf die Betragsgleichung |x+a|<b mit Lösungsmenge (-a-b;-a+b) falls b0 ist, ansonsten ist die Gleichung unlösbar.  
 
Bei umgekehrter Richtung der Ungleichung besitzt |x+a|>b die Lösungsmenge (-;-a-b)(-a+b;). Für und sind die Randpunkte entsprechend mit aufzunehmen.


Dabei ist die Rechenregel x2 =|x| aus Modul 1 zu beachten.

Beispiel 3.3.6  
Zu lösen sei die Ungleichung 2 x2 4x+2. Sortieren der Terme auf die linke Seite und Division durch 2 ergibt x2 -2x-10. Quadratische Ergänzung zur zweiten binomischen Formel auf der linken Seite ergibt die äquivalente Ungleichung x2 -2x+12, bzw. (x-1 )2 2. Ziehen der Wurzel ergibt die Betragsungleichung |x-1|2 mit Lösungsmenge L=(-;1-2][1+2;).


Andererseits kann man die Ungleichung x2 -2x-10 auch wie folgt untersuchen: Die linke Seite beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel, deren Nullstellen x1,2 =1±2 man mit der pq-Formel erhält:
./parabelu.png
Die Ungleichung x2 -2x-10 wird wegen der Öffnung nach oben von den Parabelästen links und rechts von den Nullstellen erfüllt, also von der Menge L=(-;1-2][1+2;).

Info 3.3.7  
 
Die quadratische Ungleichung x2 +px+q<0 (oder andere Vergleichssymbole) besitzt in Abhängigkeit der Nullstellen von x2 +px+q, der Öffnung der Parabel sowie der Richtung der Ungleichung eine der folgenden Lösungsmengen:
  • die reellen Zahlen ,

  • zwei Äste (-; x1 )( x2 ;) (ggf. mit beiden Randpunkten enthalten bei und ),

  • ein Intervall ( x1 ; x2 ) (ggf. mit beiden Randpunkten enthalten bei und ),

  • einen Einzelpunkt x1 ,

  • die punktierte Menge \{ x1 },

  • die leere Lösungsmenge {}.



Der folgende Lückentext beschreibt die Lösung einer quadratischen Ungleichung über die Untersuchung der Parabel:

Aufgabe 3.3.8  
Zu lösen sei die Ungleichung x2 +6x<-5. Umformen ergibt die Ungleichung <0. Mit der pq-Formel finden wir die Nullstellenmenge . Die linke Seite beschreibt eine nach geöffnete Parabel. Sie gehört zu einer Ungleichung mit dem Vergleichssymbol <, also ist die Lösungsmenge L = .