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Onlinekurs Mathematik - Ungleichungen in einer Unbekannten - Betragsungleichungen und quadratische Ungleichungen


Einführung

Analog zum Vorgehen in Modul 2 und dem vorangehenden Abschnitt löst man Beträge in Ungleichungen durch eine Fallunterscheidung auf:

Info 3.3.1  
 
Eine Ungleichung mit einem Betragsausdruck wird in zwei Fälle unterteilt:
  • Für diejenigen x, für die der Term im Betrag nicht negatv ist, kann der Betrag weggelassen bzw. durch einfache Klammern ersetzt werden.

  • Für diejenigen x, für die der Term im Betrag negativ ist, wird der Term in Klammern gesetzt und negiert.

 
Die Lösungsmengen aus den Fällen werden wie im vorangehenden Modul eingeschränkt und zur Lösungsmenge für die ursprüngliche Ungleichung vereinigt.


Beispiel 3.3.2  
Die Betragsungleichung |4x-2|<1 teilt man in zwei Fälle auf:
  • Für x 1 2 ist der Term im Betrag nicht negativ: In diesem Fall ist die Ungleichung äquivalent zu (4x-2)<1 bzw. zu x< 3 4 . Wegen der Bedingung ist nur L1 =[ 1 2 ; 3 4 ) Lösungsmenge für diesen Fall.

  • Für x< 1 2 ist der Term im Betrag negativ: In diesem Fall ist die Ungleichung äquivalent zu -(4x-2)<1 bzw. zu x> 1 4 . Nur die Teilmenge L2 =( 1 4 ; 1 2 ) erfüllt die Bedingung und ist Lösung.

Vereinigen der beiden Lösungsintervalle ergibt die Lösungsmenge L=( 1 4 ; 3 4 ) für die ursprüngliche Betragsungleichung:  
 
./unglmtikzauto_4.png



Aufgabe 3.3.3  
Die Betragsungleichung |x-1|<2|x-1|+x teilt man in zwei Fälle auf:
  1. Auf dem Intervall sind beide Terme in den Beträgen nicht negativ. Die Lösungsmenge der Ungleichung ist in diesem Fall L1 = .

  2. Auf dem Intervall sind beide Terme in den Beträgen negativ. Die Lösungsmenge der Ungleichung ist in diesem Fall L2 = .

Zusammensetzen der beiden Intervalle ergibt das Lösungsintervall L = .