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Onlinekurs Mathematik - Ungleichungen in einer Unbekannten - Ungleichungen und ihre Lösungsmengen


3.1.1 Auflösen einfacher Ungleichungen



Ist die Unbestimmte in einer Ungleichung isoliert, so ist die Lösungsmenge ein Intervall:

Info 3.1.3  
 
Die aufgelösten Ungleichungen haben folgende Intervalle als Lösungsmenge:
  • x<a besitzt die Lösungsmenge (-;a), alle x die kleiner als a sind.

  • xa besitzt die Lösungsmenge (-;a], alle x die kleiner oder gleich a sind.

  • x>a besitzt die Lösungsmenge (a;), alle x die größer als a sind.

  • xa besitzt die Lösungsmenge [a;), alle x die größer oder gleich a sind.

Dabei ist x die Unbestimmte und a ein konkreter Zahlenwert. Tritt die Unbestimmte in der Ungleichung nicht mehr auf, so ist die Lösungsmenge entweder =(-;), falls die Ungleichung erfüllt ist, oder die leere Menge {}, falls die Ungleichung nicht erfüllt ist.


Das Zeichen bedeutet dabei unendlich. Ein endliches Intervall hat die Form (a;b), was „alle Zahlen zwischen a und b“ bedeutet. Möchte man die Zahlenmenge nur auf einer Seite begrenzen, so kann man für die andere Seite die Symbole (rechts) oder - (links) einsetzen.

Wie schon bei den Gleichungen versucht man durch Umformungen, welche die Lösungsmenge nicht verändern, eine aufgelöste Ungleichung zu erhalten, aus der man die Lösungsmenge einfach ablesen kann:

Info 3.1.4  
 
Um aus einer gegebenen Ungleichung eine aufgelöste Ungleichung zu erhalten, sind folgende Äquivalenzumformungen erlaubt:
  • Addition einer Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung: a<b ist äquivalent zu a+c<b+c.

  • Multiplikation mit einer positiven Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung: a<b ist äquivalent zu a·c<b·c falls c>0 ist.

  • Multiplikation mit einer negativen Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung und Umdrehung des Vergleichssymbols: a<b ist äquivalent zu a·c>b·c falls c<0 ist.



Beispiel 3.1.5  
Die Ungleichung - 3 4 x- 1 2 <2 löst man schrittweise mit den obigen Umformungen auf:

- 3 4 x- 1 2 <2                   + 1 2 - 3 4 x<2+ 1 2                    ·(- 4 3 ) x>- 4 3 (2+ 1 2 )                      Vereinfachen x>- 20 6   =  - 10 3 .

Damit besitzt die ursprüngliche Ungleichung die Lösungsmenge (- 10 3 ,). Wichtig ist bei den Umformungen, dass die Multiplikation mit der negativen Zahl - 4 3 das Vergleichssymbol umdreht.


Aufgabe 3.1.6  
Sind diese Ungleichungen richtig oder falsch?
  1. 1 2 >1- 1 3 .

  2. a2 2ab- b2 (wobei a und b unbekannte Zahlen sind).

  3. 1 2 < 2 3 < 3 4 .

  4. Angenommen a<b, dann ist immer auch a2 < b2 .





Aufgabe 3.1.7  
Welche Lösungsmengen besitzen die folgenden Ungleichungen?
  1. 2x+1>3x-1 besitzt das Lösungsintervall L = .

  2. -3x- 1 2 x+ 1 2 besitzt das Lösungsintervall L = .

  3. x- 1 2 x+ 1 2 besitzt das Lösungsintervall L = .

Geben Sie Intervalle in der Form (a;b) ein, für die Intervallgrenzen dürfen auch Brüche oder unendlich bzw. -unendlich eingesetzt werden. Achten Sie darauf, ob die Randpunkte enthalten sind.



Info 3.1.8  
 
Eine Ungleichung in der Unbestimmten x ist linear, falls auf beiden Seiten der Ungleichung nur Vielfache von x und Konstanten vorkommen. Jede lineare Ungleichung lässt sich durch Äquivalenzumformungen zu einer der aufgelösten Gleichungen aus 3.1.3 umformen.