Version 0.9943 (Beta)
www.ve-und-mint.de
Onlinevorkurs Mathematik (Betaversion)
MINT-Logo





Version 0.9943 (Beta)
www.ve-und-mint.de
Onlinevorkurs Mathematik (Betaversion)
MINT-Logo






Onlinekurs Mathematik - Gleichungen mit einer Unbekannten - Betragsgleichungen


2.2.2 Gemischte Gleichungen



Info 2.2.5  
 
Treten in einer Gleichung Beträge zusammen mit anderen Ausdrücken auf, so sind die Fallunterscheidungen passend zu den Termen in den Beträgen einzurichten und nur auf diese anzuwenden.


Dabei darf man nicht vergessen, die gefundenen Lösungsmengen mit den Fallbedingungen abzugleichen:

Beispiel 2.2.6  
Zu lösen sei die Gleichung |x-1|+ x2 =1. Die Fallunterscheidung lautet hier wie folgt:
  • Ist x1, so kann man den Betrag durch Klammern ersetzen und erhält die quadratische Gleichung (x-1)+ x2 =1, welche zu x2 +x-2=0 umgeformt wird. Die pq-Formel liefert die beiden Lösungen

    x1 = - 1 2 - 9 4   =  -2, x2 = - 1 2 + 9 4   =  1

    von denen nur x2 die Fallbedingung erfüllt.

  • Ist x<1, so kann erhält man die Gleichung -(x-1)+ x2 =1, welche zu x2 -x=0 bzw. x·(x-1)=0 umgeformt wird. Man kann aus der Produktdarstellung die beiden Lösungen x3 =0 und x4 =1 ablesen, wegen der Fallbedingung ist hier nur x3 =0 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Insgesamt ist also L={0;1} die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung.


Aufgabe 2.2.7  
Wie lautet die Lösungsmenge für die gemischte Gleichung |x-3|·x=9?
  1. Ist x aus dem Intervall , so ist der Term im Betrag nicht negativ.
    Wir erhalten die quadratische Gleichung = 0.
    Sie besitzt die Lösungsmenge .
    Nur die Lösung erfüllt die Fallbedingung.

  2. Ist x aus dem Intervall , so ist der Term im Betrag negativ.
    Wir erhalten die normierte quadratische Gleichung = 0.
    Sie besitzt die Lösungsmenge .

Offene Intervalle können in der Form (3;5), geschlossene Intervalle in der Form [3;5] eingegeben werden. Unendlich kann man als Wort oder kurz als infty schreiben. Verwenden Sie nicht die Schreibweise ]a;b[ für offene Intervalle. Mengen können in aufzählender Form {1;2;3} eingegeben werden. Die Mengenklammer erhalten Sie mit AltGr+7 bzw. AltGr+0.

Damit ist die Lösungsmenge insgesamt L = .  
 


Aufgabe 2.2.8  
Untersuchen Sie die gemischte Betragsgleichung 3|2x+1|=|x-5| auf Lösungen, indem Sie die auftretenden Fälle auf dem Zahlenstrahl visualisieren und dann aufgrund einer Fallunterscheidung die Lösungen ermitteln. Visualisieren Sie zunächst die Fallunterscheidungen für die Einzelbeträge.  
 
Die Lösungsmenge ist .