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Onlinekurs Mathematik - Gleichungen mit einer Unbekannten - Betragsgleichungen


Einführung

Die Betragsfunktion |x| ordnet einem x seinen Wert ohne das Vorzeichen zu: Ist x0, so ist |x|=x, andernfalls ist |x|=-x:
./betrag1.png
Die Betragsfunktion |x| in Abhängigkeit von x.


Betragsgleichungen sind Gleichungen, in denen ein oder mehrere Beträge vorkommen. Diese sind problematisch, da der Betrag eines Terms letztlich über eine Fallunterscheidung

| Term |    =    { Term falls    Term 0 - Term falls    Term <0

berechnet wird. Diese Fallunterscheidungen müssen beim Lösen von Betragsgleichungen schrittweise aufgelöst und auf Lösungen untersucht werden.

Beispiel 2.2.1  
Die Betragsgleichung |x|=2 hat offenbar die Lösungsmenge L={2;-2}. Ebenso einfach kann man von |x-1|=3 auf die Lösungsmenge L={-2;4} schließen.


Sobald mehrere Terme neben dem Betrag auftreten, ist jedoch eine Fallunterscheidung notwendig. Im folgenden Abschnitt wird ausführlich erklärt, wie man diese vornimmt und richtig notiert, da Fallunterscheidungen auch in den folgenden Modulen eine wichtige Rolle spielen werden.