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Onlinekurs Mathematik - Gleichungen mit einer Unbekannten - Einfache Gleichungen


2.1.3 Auflösen quadratischer Gleichungen

Info 2.1.16  
 
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a x2 +bx+c=0 mit a0, oder x2 +px+q=0 in normierter Form. Diese erhält man durch Division der gesamten Gleichung durch a.  

 Für eine quadratische Gleichung in einer Unbestimmten (hier x) gibt es nur drei Möglichkeiten:
  • Sie ist nicht lösbar: L={},

  • sie besitzt eine einzige Lösung L={ x1 },

  • sie besitzt zwei verschiedene Lösungen L={ x1 ; x2 }.



Die Lösungen erhält man dabei über quadratische Lösungsformeln.

Info 2.1.17  
 
Die pq-Formel für die Gleichung x2 +px+q=0 lautet

x1,2   =  - p 2 ± 1 4 p2 -q.

Dabei besitzt die Gleichung
  • keine Lösung, falls 1 4 p2 -q<0 ist (dann darf man die Wurzel nicht ziehen),

  • eine einzige Lösung x1 =- p 2 , falls 1 4 p2 =q ist und die Wurzel verschwindet,

  • zwei verschiedene Lösungen, falls die Wurzel eine positive Zahl ist.



Diese drei Situationen entsprechen den drei möglichen Schnitten, die der Graph einer nach oben geöffneten Parabel der Form f(x)= x2 +px+q mit der x-Achse haben kann:

./para1b.png    ./para2b.png    ./para3b.png


Die drei Situationen: Kein Schnittpunkt, ein Schnittpunkt und zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.

Beispiel 2.1.18  
Die quadratische Gleichung x2 -x+1=0 hat keine Lösung, denn in der pq-Formel ist 1 4 p2 -q=- 3 4 negativ. Dagegen besitzt x2 -x-1=0 die beiden Lösungen

x1 = 1 2 + 1 4 +1  =   1 2 (1+5)    , x2 = 1 2 - 1 4 +1  =   1 2 (1-5)    .



Info 2.1.19  
 
Eine quadratische Gleichung ist in Scheitelpunktform, wenn sie die Form a·(x-s )2 =d besitzt mit a0 und d0. Für den Funktionsausdruck der zugehörigen Parabel liest sich diese Form f(x)=a·(x-s )2 -d. In dieser Situation ist (s|-d) der Scheitelpunkt der Parabel.

Falls a>0 ist gibt es zwei Lösungen

x1   =  s- d a   ,   x2   =  s+ d a

der Gleichung, diese liegen symmetrisch um die x-Koordinate des Scheitelpunkts. Für d=0 gibt es nur eine Lösung.

Das Vorzeichen von a bestimmt, ob die Gleichung eine nach oben oder unten geöffnete Parabel beschreibt.


Die quadratische Gleichung hat nur eine einzige Lösung s, falls sie sich in die Form (x-s )2 =0 bringen lässt.

Info 2.1.20  
 
Beliebige quadratische Gleichungen kann man (ggf. Sortieren der Terme auf die linke Seite und Normieren) durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktform bringen. Dazu wird auf beiden Seiten eine Konstante addiert, so dass links ein Term der Form x2 ±2sx+ s2 für die erste oder zweite binomische Formel entsteht.


Beispiel 2.1.21  
Die Gleichung x2 -4x+2=0 kann man durch Addieren der Konstanten 2 in die Form x2 -4x+4=2 bzw. in die Scheitelpunktform (x-2 )2 =2 bringen. Aus ihr kann man sofort die Lösungen x1 =2-2 und 2+2 ablesen. Andererseits besitzt die quadratische Gleichung x2 +x=-2 keine Lösung, denn quadratische Ergänzung führt auf x2 +x+ 1 4 =- 7 4 bzw. (x+ 1 2 )2 =- 7 4 mit negativer rechter Seite.


Aufgabe 2.1.22  
Bestimmen Sie die Lösungen dieser quadratischen Gleichungen über quadratische Ergänzung, nachdem Sie die Terme auf die linke Seite sortiert und normiert haben:
  1. x2 =8x-1 hat die Scheitelpunktform = .
    Die Lösungsmenge ist L = .

  2. x2 =2x+2+2 x2 hat die Scheitelpunktform = .
    Die Lösungsmenge ist L = .

  3. x2 -6x+18=- x2 +6x hat die Scheitelpunktform = .
    Die Lösungsmenge ist L = .

Mengen können in der Form { a;b;c; } eingegeben werden. Die leere Menge kann als {} eingegeben werden.