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Onlinekurs Mathematik - Elementares Rechnen - Potenzen und Wurzeln


1.4.1 Potenzrechnung und Wurzeln



Im folgenden Abschnitt wollen wir uns mit Ausdrücken der Form as beschäftigen. Hierbei sei a, aber für welche Zahlen s können wir die Potenz sinnvoll definieren?

Potenzen mit natürlichem Exponenten werden folgendermaßen definiert:
Info 1.4.1  
 
Sei n. Die n-te Potenz einer Zahl a ist das n-fache Produkt der Zahl a mit sich selbst:

an = a·a·a··a.     (n Faktoren )

a wird als Basis und n als Exponent bezeichnet.
Ferner gelte: a0 =1,a0.
Beispiel 1.4.2  


32 =3·3=9,      (-2 )3 =(-2)·(-2)·(-2)=-8,       ( 1 2 )4 = 1 2 · 1 2 · 1 2 · 1 2 = 1 16 .

Viele Potenzen können mit obiger Rechenregel berechnet werden - aber wie sieht es mit 2-2 aus?
Info 1.4.3  
 
Potenzen mit negativen natürlichen Exponenten werden definiert durch die Formel a-n = 1 an ,n,a0.
Folglich berechnet sich 2-2 = 1 22 = 1 4 . Analog ergibt sich (-2 )-2 = 1 (-2 )2 = 1 4 .

Aber schon bei einem rationalen Exponenten der Form 1 n ,n, müssen wir unsere Definition wieder erweitern, um zum Beispiel 4 1 2 berechnen zu können. Diese Potenz lässt sich auch in Wurzelschreibweise umwandeln und wir erhalten 4 1 2 =4=2. Allgemein gilt:
Info 1.4.4  
 
Sei n und a mit a0. Die n-te Wurzel besitzt die Potenzschreibweise an= a 1 n .
Dies führt uns auf die Umkehrung der Potenzrechnung, das Wurzelziehen.

Info 1.4.5  
 
Die n-te Wurzel einer Zahl a,a0, ist diejenige Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist:

a 1 n =an=b bn =a.

a wird als Wurzelbasis oder Radikand und n als Wurzelexponent bezeichnet.
Es gilt a1=a und es heißen a2=a die Quadratwurzel und a3 die Kubikwurzel von a.


Beispiel 1.4.6  


16 1 2 =162=16=4,       27 1 3 =273=3.



Info 1.4.7  
 
Für n,a,b mit a,b0 gelten die folgenden Wurzelrechenregeln:
  1. Zwei Wurzeln mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden gezogen wird, der Wurzelexponent bleibt unverändert:

    an·bn=a·bn.



  2. Zwei Wurzeln mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden gezogen wird, der Wurzelexponent bleibt unverändert:

    an bn = a b n,b0.



Aber wie kann die Zahl (410)5 berechnet werden?

Info 1.4.8  
 
Seien m,n und a,a0.
  1. Die m-te Potenz einer Wurzel bildet man, indem die m-te Potenz des Radikanden gebildet wird, der Wurzelexponent bleibt unverändert:

    (an)m = am n= a m n .



  2. Die m-te Wurzel aus einer Wurzel bildet man, indem die Wurzelexponenten multipliziert werden und die Basis gleich bleibt (Radizieren einer Wurzel).

    anm=am·n.



Somit erhalten wir

45 10=( 45 ) 1 10 = 4 5 10 = 4 1 2 =42=2.



Beispiel 1.4.9  
Die Berechnung einer allgemeinen Potenz mit rationalem Exponenten sieht dann folgendermaßen aus:

( 1 4 )- 2 3 = ( 1 4 )-2 3= 1 ( 1 4 )2 3= 1 1 16 3=163= 23 ·23=223.



Die für Potenzen mit reeller Basis und rationalem Exponenten gültigen Rechenregeln werden unter der Bezeichnung Potenzgesetze zusammengefasst. Die Regeln differieren in Abhängigkeit von der Betrachtung von Potenzen mit derselben Basis bzw. demselben Exponenten.

Info 1.4.10  
 
Für a,b,a,b>0,p,q gelten die Potenzgesetze:

ap · bp =(a·b )p ,       ap bp = ( a b )p ,       ap · aq = ap+q ,       ap aq = ap-q ,      ( ap )q = ap·q .



Insbesondere ist zu beachten, dass im Allgemeinen ( ap )q a pq , d. h. bei mehrfachem Potenzieren sollten Klammern gesetzt werden. Zum Beispiel ist ( 23 )2 = 82 =64, aber 2( 32 ) = 29 =512. Sind keine Klammern gesetzt, so wird a pq als a( pq ) interpretiert.