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Onlinekurs Mathematik - Elementares Rechnen - Bruchrechnung


1.2.1 Bruchrechnung



Ein Bruch ist eine rationale Zahl der Form Zähler Nenner , wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und der Nenner 0 ist. Beispiele hierfür sind:

1 2 ,    5 10 ,    17 12 ,    1 23 ,    4 6 ,    2 3 ,...

Sehr schnell erkennt man, dass ein und dieselbe rationale Zahl beliebig viele äquivalente Darstellungen haben kann. Zum Beispiel gilt:

12 36 = 1 3 = 24 72 = -12 -36 = 3 9 = 2 6 = 120 360 =.

Die verschiedenen Darstellungen gehen durch Kürzen bzw. Erweitern ineinander über.
Info 1.2.1  
 
Brüche werden gekürzt, indem Zähler und Nenner durch dieselbe ganze Zahl dividiert werden.

Brüche werden erweitert, indem Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl multipliziert werden.


Beispiel 1.2.2  
Drei Freunde möchten sich eine Pizza teilen. Tom isst 1 4 der Pizza, Tim 1 3 der Pizza. Wieviel Pizza ist noch für ihren Freund Sven übrig, der eigentlich immer den meisten Hunger hat?
Jetzt müssen wir zum ersten Mal mit Brüchen rechnen. Zunächst müssen zwei Brüche addiert werden, um festzustellen, wieviel Tim und Tom schon von der Pizza gegessen haben:

1 4 + 1 3 = 1·3 4·3 + 1·4 3·4 = 3 12 + 4 12 = 7 12 .

Hier erkennen wir schon die beiden wichtigsten Schritte: zunächst müssen die beiden Brüche durch Erweitern auf den sogenannten Hauptnenner gebracht oder man sagt auch gleichnamig gemacht werden. Wenn die Brüche dann denselben Nenner besitzen, können sie addiert werden, indem ihre Zähler addiert und der gemeinsame Nenner übernommen wird. Nun wissen wir also, dass Tim und Tom 7 12 der Pizza gegessen haben, aber wieviel bleibt nun für Sven übrig? Nun müssen wir subtrahieren:

1- 7 12 = 12 12 - 7 12 = 5 12 .

Auch hier werden die Brüche wieder auf den Hauptnenner gebracht und anschließend die Zähler subtrahiert. Die beiden Freunde haben also für den immer hungrigen Sven tatsächlich die meiste Pizza übriggelassen.


Info 1.2.3  
 
Der Hauptnenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die beide Zahlen als Teiler besitzt. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide Zahlen als Vielfache besitzt.


Ist die Bestimmung des kgV bei den folgenden Rechenregeln zu kompliziert, so kann an seiner Stelle auch das einfache Produkt der Nenner benutzt werden:

Info 1.2.4  
 
Brüche werden addiert/subtrahiert, indem man sie auf den gleichen Nenner bringt und die Zähler anschließend addiert/subtrahiert, d. h.

a b ± c d = ad±bc bd ,   bd0.

Üblicherweise werden die Brüche auf den Hauptnenner erweitert.


Beispielsweise ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 6=2·3 und 15=3·5 die Zahl 2·3·5=30, das Produkt ist dagegen 6·15=90. Man kann also

1 6 + 1 15   =   5 30 + 2 30   =   7 30

aber auch

1 6 + 1 15   =   15 90 + 6 90   =   21 90

rechnen und den letzten Bruch dann noch zu 7 30 kürzen.

Beispiel 1.2.5  
Das kleinste gemeinsame Vielfache für den Hauptnenner ist die kleinste Zahl, die von allen beteiligten Nennern geteilt wird. Falls die Zahlen keine gemeinsamen Faktoren haben, ist es einfach das Produkt der beiden Zahlen:

1 6 + 1 10 = 5 30 + 3 30   =   8 30   =   4 15 , 1 6 + 1 10 = 10 60 + 6 60   =   16 60   =   4 15 (auch richtig) , 4 15 - 1 2 = 8 30 - 15 30   =   8-15 30   =  - 7 30 , 1 3 + 1 9 = 3 9 + 1 9   =   4 9 , 1 22 + 1 24 = 22 24 + 1 24   =   5 16 , 1 2 + 1 3 + 1 7 = 21 42 + 14 42 + 6 42   =   41 42 .



Bei der Bildung von Hauptnennern können auch Terme mit Variablen zum Einsatz kommen. Da die Bruchumformungen für alle Werte dieser Variablen richtig sein sollen, müssen diese wie Zahlen ohne gemeinsame Faktoren behandelt werden:

Beispiel 1.2.6  
Sind x und y eine Variablen, so gilt

1 3 + 1 x = x 3·x + 3 3·x   =   3+x 3·x , 1 x + 1 y = y x·y + x x·y   =   x+y x·y , 1 (x+1 )2 + 1 x+1 = 1 (x+1 )2 + x+1 (x+1 )2   =   x+2 (x+1 )2 .



Aufgabe 1.2.7  
Diese Summen sollen über Hauptnenner (oder das Produkt der Nenner) ausgerechnet werden:
  1. 1 2 - 1 8 = .

  2. 1 3 + 1 5 + 1 6 = .

  3. 1 2x + 1 3x = .

Bei dieser Aufgabe dürfen keine Rechenoperationen bis auf Multiplikation * und den Divisonsstrich / eingegeben werden.



Aufgabe 1.2.8  
Bei gleichnamigen Brüchen darf man nur die Zähler addieren bzw. zerlegen, für den Nenner gibt es keine solche Regel. Berechnen Sie zum Nachweis die folgenden Zahlenwerte, indem Sie den Hauptnenner bilden:
  1. 1 2 + 1 3 = aber 1 2+3 = .

  2. 1+2 5+6 = aber 1 5 + 2 6 = .



Info 1.2.9  
 
Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden, d. h.

a b · c d = a·c b·d ,   bd0.



Die Division zweier Brüche wird auf die Multiplikation zurückgeführt:

Info 1.2.10  
 
Brüche werden dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird, d.h.

a b : c d = a b · d c = a·d b·c ,   b,c,d0.

Die Division zweier Brüche kann auch als Doppelbruch geschrieben werden:

a b : c d = a b c d .



Beispiel 1.2.11  
Die Multiplikation bzw. Division zweier Brüche sieht unter Berücksichtigung von eventuellem Kürzen folgendermaßen aus:

2 3 · 4 5 = 2·4 3·5 = 8 15 ,       2 3 : 4 5 = 2 3 · 5 4 = 10 12 = 5 6 .



Wird ein Bruch ausdividiert, so erhalten wir einen Dezimalbruch bzw. eine Dezimalzahl, zum Beispiel

1 2 =0.5,    1 3 =0.33333...=0. 3 ,    1 7 =0. 142857 ,    1 8 =0.125.

Schon an diesen Beispielen zeigt sich, dass die Division entweder aufgehen kann und man einen endlichen Dezimalbruch erhält oder aber die Ziffern wiederholen sich in einer bestimmten Reihenfolge, dann liegt ein unendlicher periodischer Dezimalbruch vor.

Die Umwandlung von endlichen Dezimalbrüchen in Brüche geschieht mit der Stellentafel. Jeder Dezimalbruch hat die Form:
 
12345,6789
ZTTHZE,zhtzt
 



wobei ZT ... Zehntausender, T ... Tausender, H ... Hunderter, Z ... Zehner, E ... Einer, z ... Zehntel, h ... Hundertstel, t ... Tausendstel, zt ... Zehntausendstel u.s.w. beschreiben.
Die Umwandlung sieht dann folgendermaßen aus:

4,375 = 4+ 3 10 + 7 100 + 5 1000 = 4+ 300+70+5 1000 = 4+ 375 1000 = 4+ 75 200 = 4+ 15 40 = 35 8 .

Aber wie sieht es bei periodischen Dezimalbrüchen aus? Anscheinend müssten wir unendlich viele Brüche aufsummieren, was in der Praxis natürlich wenig Sinn macht. Daher bedienen wir uns bei der Umwandlung unendlicher periodischer Dezimalbrüche in Brüche eines Tricks:

Info 1.2.12  
 
Die Umwandlung periodischer Dezimalbrüche in Brüche geschieht, indem man durch Multiplikation mit einer Zehnerpotenz die periodischen Nachkommastellen vor das Komma holt. Dies ergibt eine Gleichung der Form 10k ·x=x+n für den Dezimalbruch x, der zu x= n 10k -1 (ein gewöhnlicher Bruch) aufgelöst werden kann.


Beispiel 1.2.13  
Die Zahl 0, 6 soll in einen Bruch umgewandelt werden. Hierzu multipliziert man die Zahl mit 10 und subtrahiert vom Ergebnis die Ausgangszahl, um die unendliche Periode zu eliminieren:
10 · 0, 6 = 6, 6
- 1 · 0, 6 = 0, 6
9 · 0, 6 = 6,0
Aus der letzten Beziehung folgt nach Division durch 9 sofort:    0, 6 = 6 9 = 2 3 .


Dieses Vorgehen funktioniert auch, wenn sich nicht alle Ziffern hinter dem Komma periodisch wiederholen:

Beispiel 1.2.14  
Der Dezimalbruch 0,8 3 =0,83333 soll in einen Bruch umgewandelt werden:
100 · 0,8 3 = 83, 3
- 10 · 0,8 3 = 8, 3
90 · 0,8 3 = 75,0
Division durch 90 liefert das Ergebnis: 0,8 3 = 75 90 = 5 6 .


Die Vorgehensweise ist also immer dieselbe: durch geeignete Multiplikation mit Zehnerpotenzen und anschließender Subtraktion wird die unendliche Periode entfernt.

Aufgabe 1.2.15  
Berechnen Sie mit dem obigen Verfahren einen gewöhnlichen und gekürzten Bruch, der den Wert 0,45555 darstellt.  
 
Antwort: 0,4 5 = .  
Geben Sie den Bruch in der Form Zähler/Nenner maximal gekürzt und mit positivem Nenner ein.