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Onlinekurs Mathematik - Elementares Rechnen - Zahlen, Variablen, Terme


1.1.1 Variablen und Terme



Die Verwendung von Variablen, Termen und Gleichungen ist notwendig, um Aussagen mit noch unbestimmten Werten zu formalisieren.

Info 1.1.4  
 
Eine Variable ist ein Symbol (typischerweise ein Buchstabe), dass als Platzhalter für einen unbestimmten Wert eingesetzt wird. Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Variablen, Rechenoperationen und weitere Symbole enthalten kann, und der nach Einsetzung von Zahlen für die Variablen einen konkreten Zahlenwert ergibt. Terme können zu Gleichungen bzw. Ungleichungen kombiniert oder in Funktionsbeschreibungen eingesetzt werden, dazu kommen wir aber erst später.


Beispiel 1.1.5  
Die textuelle Frage

In einer Schulklasse gibt es vier Mädchen mehr als Jungs und insgesamt 20 Kinder, wieviele Mädchen bzw. Jungs sind in der Klasse?

kann man beispielsweise formalisieren, indem man Variablen a (für die Anzahl der Mädchen) und b (für die Anzahl der Jungs) in der Schulklasse einführt und damit die beiden Gleichungen a=b+4 und a+b=20 aufstellt. Diese kann man durch Einsetzen nun auflösen zu a=12 und b=8 und daraus den textuellen Antwortsatz

In der Schulklasse befinden sich 12 Mädchen und 8 Jungs

aufbauen. Dabei ist beispielsweise b+4 ein Term, b selbst ist eine Variable und a+b=20 ist eine Gleichung mit einem Term auf der linken und einer Zahl auf der rechten Seite.


Bei einem Term ist wesentlich, dass er zu einem konkreten Zahlenwert ausgewertet werden kann, wenn man Zahlen für die im Term auftretenden Variablen einsetzt:

Beispiel 1.1.6  
Die folgenden Ausdrücke sind Terme:
  • x·(y+z)-1, für x=1, y=2 und z=0 erhält man beispielsweise den Wert 1 des Terms.

  • 1+2+3+4, es treten keine Variablen auf, trotzdem handelt es sich um einen Term (der immer den Wert 10 ergibt).

  • α+β 1+γ , beispielsweise erhält man für α=1, β=2 und γ=3 den Wert 3 4 für den Term. Hier darf man aber nicht γ=-1 einsetzen.

  • sin(π(x+1)), beispielsweise ergibt der Term den Wert Null wenn man für x eine ganze Zahl einsetzt.

  • z, eine Variable für sich allein ist auch ein Term.

  • 1+2+3++(n-1)+n ist ein Term, bei dem die Variable n im Term auftritt und gleichzeitig seine Länge festlegt.



Beispiel 1.1.7  
Diese Ausdrücke sind keine Terme im Sinne der Mathematik:
  • a+b=20, ist eine Gleichung (Einsetzen von Werten für a und b ergibt keine Zahl, sondern die Gleichung ist eben wahr oder falsch).

  • a·(b+c ist nicht richtig geklammert,

  • Anteil der Mädchen in der Schulklasse“ ist kein Term, kann aber durch den Term a a+b formalisiert werden,

  • sin ist kein Term sondern ein Funktionsname, dagegen ist sin(x) ein Term (der bei Einsetzen einer Zahl für x ausgewertet werden kann).



Aufgabe 1.1.8  
Gegeben sind jeweils ein Term und Zahlenwerte für die im Term auftretenden Variablen, wie lautet die Auswertung des Terms?
  1. α+β α-β nimmt den Wert an für α=6 und β=4.

  2. y2 + x2 nimmt den Wert an für y=2x+1 und x=-1.

  3. 1+2+3++(n-1)+n nimmt den Wert and für n=6.



Aufgabe 1.1.9  
Formalisieren Sie diese Aussagen mit den vorgegebenen Variablen:
  1. Anteil der Mädchen (Variable a) sowie der Jungen (Variable b) an der Gesamtzahl Kindern:

    Anteil Mädchen ist und Anteil der Jungen ist .
    Brüche können mit dem Strich (über der 7-Taste auf den meisten Tastaturen) eingegeben werden, dabei sollten Zähler bzw. Nenner geklammert werden wenn Rechenoperationen auftreten. Beispielsweise kann man den Bruch 1+x 2+y eingeben als (1+x)/(2+y).



Terme können auch ineinander eingesetzt werden:

Info 1.1.10  
 
Beim Einsetzen von Termen wird ein Term anstelle eines Symbols in einem anderen Term eingesetzt, wobei das ersetzte Symbol ggf. vorher geklammert werden muss, wenn der einzusetzende Term mehrere Ausdrücke enthält.


Beispiel 1.1.11  
Setzt man in den Term x2 + y2 beispielsweise den Wert x=1+2+3 ein, so so entsteht der neue Term x2 + y2 =(1+2+3 )2 + y2 =36+ y2 , und nicht etwa 1+2+ 32 + y2 =12+ y2 .


Aufgabe 1.1.12  
Welcher Term entsteht, wenn man in x2 + y2 Folgendes einsetzt:
  1. Der Winkel α sowohl für x wie auch für y: Dann ist x2 + y2 = .

  2. Die Zahl 2 für y und der Term t+1 für x: Dann ist x2 + y2 = .

  3. Der Term z+1 für x und der Term z-1 für y: Dann ist x2 + y2 = .

Der griechische Buchstabe α kann als alpha eingetippt werden.



Aufgabe 1.1.13  
In dieser Figur habe ein Kästchen auf dem Papier die Seitenlänge x, welchen Flächeninhalt (als Term in der Variablen x) besitzt die Figur?

./tikz01.png
Abbildung 1: Eine Figur auf kariertem Papier.



Antwort:
  • Der große Kreis hat insgesamt den Flächeninhalt ,

  • je ein kleiner Kreis hat den Flächeninhalt ,

  • die Figur insgesamt hat den Flächeninhalt .

Die Kreiszahl π kann als pi eingegeben werden.