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Onlinekurs Mathematik - Elementares Rechnen - Zahlen, Variablen, Terme


Einführung





,0,3,-4, 4 5 ,2,e,π,12.3,

Mathematik ist die Welt der Zahlen. Wenn man verschiedene Zahlen näher betrachtet, so erkennt man jedoch grundlegende Unterschiede. Manche Zahlen lassen sich nicht als geschlossener Dezimalbruch darstellen, andere sind schier unvorstellbar (imaginär), wieder andere kann man an den Fingern abzählen oder aber als Lösungen von Gleichungen gewinnen.

Info 1.1.1  
 
Die in der Mathematik verwendeten Zahlenbereiche sind:
={1;2;3,} die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null,
0 ={0;1;2;3,} die Menge der natürlichen Zahlen inklusive Null,
={-2;-1;0;1;2,} die Menge der ganzen Zahlen,
die Menge der rationalen Zahlen (Brüche),
die Menge der reellen Zahlen.


Diese Zahlenbereiche sind nicht unabhängig voneinander, sondern bilden eine Kette ineinandergeschachtelter Zahlenmengen:

0 .

Diese Zahlenbereiche erhalten wir, indem wir uns nacheinander die Lösungen folgender Gleichungen anschauen und die Zahlenbereiche so erweitern, dass immer eine Lösung existiert:

Zahlenbereich lösbare Gleichung nicht lösbarHinzunahmeneuer Bereich
x+2=4 x+2=1 negativer Zahlen
4x=20 4x=5 von Brüchen
x2 =4 x2 =2 irrationaler Zahlen
x2 =2 x2 =-1 usw.


Natürliche Zahlen treten immer dann auf, wenn Anzahlen bestimmt oder Dinge nummeriert werden müssen. Sie spielen in der Kombinatorik eine große Rolle: die Anzahl der Möglichkeiten, aus 49 Kugeln 6 Kugeln zu ziehen, ist zum Beispiel eine natürliche Zahl. In der Informatik bilden sie die Grundlage für die verschiedenen Zahlensysteme: das Dualsystem hat die Basis 2, das Dezimalsystem die Basis 10 und das Hexadezimalsystem die Basis 16. Bestimmte natürliche Zahlen, die Primzahlen, bilden die Grundlage der modernen Verschlüsselungstechniken.

In der Menge der natürlichen Zahlen lässt es sich einfach rechnen, aber wir stoßen an Grenzen, wenn wir zum Beispiel eine Temperaturangabe von 3 C lesen (handelt es sich um Plus- oder Minusgrade?) oder eine Gleichung der Form x+5=1 auflösen möchten. Daher müssen wir die Menge der natürlichen Zahlen um die negativen natürlichen Zahlen erweitern und erhalten . Die Menge der ganzen Zahlen wird mit

:={;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;}

bezeichnet. Ganze Zahlen werden immer dann benötigt, wenn das Vorzeichen der natürlichen Zahlen eine Rolle spielt. Außerdem können nun Zahlen subtrahiert werden, d.h. Gleichungssysteme der Form a+x=b sind lösbar ( x=b+(-a).)

./ganzzahlen.png


Auf den ganzen Zahlen lässt sich eindeutig ein Vergleichssymbol < definieren, die ganzen Zahlen lassen sich damit zu einer Kette anordnen:

<-3<-2<-1<0<1<2<3<



Eine rationale Zahl stellt das Verhältnis zweier ganzer Zahlen dar:

Info 1.1.2  
 
Die Menge der rationalen Zahlen wird mit

:={ p q :p,q,q0}

bezeichnet. Die Elemente p q der Menge heißen Brüche, wobei p der Zähler des Bruchs und q der von Null verschiedene Nenner des Bruchs ist.
Rationale Zahlen spielen immer dann eine Rolle, wenn Angaben "genauer" werden sollen, also Temperaturen in Bruchteilen von C angegeben, Anteile von Flächen eingefärbt oder Medikamente aus bestimmten Bestandteilen zusammengemischt werden sollen.

Dabei ist zu beachten, dass die Darstellung als Bruch nicht eindeutig ist, man kann die gleiche Zahl durch mehrere Brüche beschreiben. Beispielsweise ist

2  =   4 2   =   1024 512

die gleiche rationale Zahl.

Andererseits kann nicht jede Zahl auf dem Zahlenstrahl als Bruch dargestellt werden. Wenn wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 betrachten und die Diagonale d berechnen wollen, so erhalten wir nach dem Satz von Pythagoras:


./quadrat.png


d2 = 12 + 12 =2,   also formal   d=2.


Eine weitere Zahl, die offensichtlich nicht als Bruch dargestellt werden kann, erhält man durch Abrollen eines Rades mit Durchmesser 1 auf der Zahlengeraden. Es handelt sich um die Zahl π.


./kreispi.png


Eine Zahl ist irrational, wenn sie nicht rational ist, also nicht als Bruch aufgeschrieben werden kann. Die irrationalen Zahlen schließen nun die noch vorhandenen Lücken auf der Zahlengeraden, jedem Punkt entspricht genau eine reelle Zahl.
Info 1.1.3  
 
Die Menge der reellen Zahlen wird mit bezeichnet und setzt sich aus der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der irrationalen Zahlen zusammen. Sie enthält alle auf der Zahlengeraden darstellbaren Zahlen.


Reelle Zahlen dienen als Maßzahlen für Längen, Flächeninhalte, Temperaturen, Massen, etc. Im Kurs werden die mathematischen Probleme typischerweise mit reellen Zahlen gelöst.